章末检测
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分1.对于空间中的非零向量A→B、B→C、A→C,有下列各式:①A→B+B→C=A→C;②A→B-A→C=B→C;③A→B+B→C=A→C;④A→B-A→C=B→C其中一定不成立的是________.答案②解析根据空间向量的加减法运算,对于①:A→B+B→C=A→C恒成立;对于③:当A→B、B→C、A→C方向相同时,有A→B+B→C=A→C;对于④:当B→C、A→B、A→C共线且B→C与A→B、A→C方向相反时,有A→B-A→C=B→C只有②一定不成立.2.若向量a=11,x,b=121,c=111满足条件c-a2b=-2,则x=______答案2解析c-a=001-x,故c-c2b=2001-x121=21-x,结合已知得21-x=-2,解得x=23.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一点,若λO→G=O→A+O→B+O→C,则λ=______答案3解析如图,正方体中,O→A+O→B+O→C=O→D=3O→G,所以λ=3
4.空间四边形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,则向量E→F与B→C、A→D________是、否共面.答案是解析如图所示,E→F=E→A+A→D+D→F,E→F=E→B+B→C+C→F又E、F分别是AB、CD的中点,
f故有E→A=-E→B,D→F=-C→F,∴2E→F=A→D+B→C,∴E→F=12A→D+12B→C∵A→D与B→C不共线,∴E→F与A→D、B→C共面.
5.下列命题中,正确命题的个数为______.①若
1,
2分别是平面α,β的法向量,则
1∥
2α∥β;②若
1,
2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β
1
2=0;③若
是平面α的法向量,a与α共面,则
a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.答案3解析①中平面α,β可能平行,也可能重合,故①不正确;结合平面法向量的概念,易知②
③④正确.
6.在四面体OABC中,O→A=a,O→B=b,O→C=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则O→E可表示为______用a,b,c表示.答案12a+14b+14c解析O→E=O→A+12A→D=O→A+12×12A→B+A→C=O→A+14×O→B-O→A+O→C-O→A=12O→A+14O→B+14O→C=12a+14b+14c
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若A→E=A→A1+xA→B+yA→D,则x,y的值分别为______.
答案12,12
解析
→→→→1→→1→→如图,AE=AA1+A1E=AA1+2A1C1=AA1+2AB+AD,故x,y
的值都为128.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连结AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是________.
f①P→C与B→D②D→A与P→B③P→D与A→B④P→A与C→D答案①解析建立如图所示的空间直角坐标系.r