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长度为2.
【点评】此题考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质,关键是做出辅助线,找出全等和相似的三角形.
23.(13分)如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于点C(0,5).
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)D是笫一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合),过点D作DF⊥x轴于点
F,交直线BC于点E,连结BD、CD.设点D的横坐标为m,△BCD的面积为S.①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围;②当m为何值时,S有最大值,并求这个最大值;③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2:3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若
不能,请说明理由.
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f【分析】(1)由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式为ya(x1)(x5),将点C(0,3)代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程,解方程即可求出a的值,从而得出抛物线的解析式;
(2)①设直线BC的函数解析式为ykxb,结合点B、点C的坐标,利用待定系数法求出直线BC的函数解析式,再由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标,结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式,即可得出结论;②由①的结论,利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形,从而得出结论;③结合图象可知△BDE和△BFE是等高的,由此得出它们的面积比DE:EF,分两种情况考虑,根据两点间的距离公式即可得出关于m的分式方程,解方程即可得出m的值,将其代入到点D的坐标中即可得出结论.
【解答】(1)∵抛物线经过A(1,0),B(5,0),C(0,5),∴设ya(x1)(x5),∴5a(01)(05),解得a1,∴抛物线的函数关系式为y(x1)(x5),即yx24x5;
(2)①设直线BC的函数关系式为ykxb,则
解得

∴yx5,设D(m,m24m5),E(m,m5),∴DEm24m5m5m25m
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f∴s
(m25m)m2m(0<m<5);
②sm2m



∴当m时,S有最大值,S最大值;
③∵△BDE和△BFE是等高的,∴它们的面积比DE:EF,()当DE:EF2:3时,


解得:
(舍),
此时,D(
);
()当DE:EF3:2时,


解得:
(舍),
此时,D(
).
综上所述,点D的坐标为(
)或(
).
【点评】本题属于二次函数综合题,主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及三角形的面积公式的综合应用,解题的关键是运用待定系r
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