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数学高考综合能力题选讲18
直线与二次曲线
100080北京中国人民大学附中题型预测
直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
梁丽平
范例选讲例1．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2y210x200相切．过点P40作斜率为
1的直线l，使得l和G交于AB两点，和y轴交于点4
2
C，并且点P在线段AB上，又满足PAPBPC．
（Ⅰ）求双曲线G的渐近线的方程；（Ⅱ）求双曲线G的方程；（Ⅲ）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆讲解
x2y210x200相切可得：
1所以，k±．21双曲线G的渐近线的方程为：y±x．2
5kk21
5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G的方程为：x24y2m．把直线l的方程y
8则xAxB31x4代入双曲线方程，整理得3x28x164m0．4164mxAxB（＊）3
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∵PAPBPC，PABC共线且P在线段AB上，
2
∴
xPxAxBxPxPxC
2
，
即：xB44xA16，整理得：4xAxBxAxB320将（＊）代入上式可解得：m28．所以，双曲线的方程为x2y21．287x2y21a27．下面我们来求出S28a2
（Ⅲ）由题可设椭圆S的方程为：中垂直于l的平行弦中点的轨迹．


设弦的两个端点分别为Mx1y1Nx2y2，MN的中点为Px0y0，则
x12y12128a2．2x2y22128a2
x1x2x1x2y1y2y1y2
两式作差得：
28a2
0
由于
y1y24，x1x22x0y1y22y0x1x2
x04y00，28a2
x4y0截在椭圆S内的部分．28a2a21．所1122
所以，
所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线
又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，
x2y21．2856
以，a256，椭圆S的方程为：
点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段点评的关系为横坐标（r