中考专题复习几何综合题
【2013西城一模】24．在Rt△ABC中，∠ACB90°，∠ABC，点P在△ABC的内部．1如图1，AB2AC，PB3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos_______，△PMN周长的最小值为_______；2如图2，若条件AB2AC不变，而PA2，PB10，PC1，求△ABC的面积；3若PAm，PB
，PCk，且kmcos
si
，直接写出∠APB的度数．
24．解：（1）cos
3，△PMN周长的最小值为3；………………………2分2
（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC∴ADAPAF，BDBPBE，CECPCF∵由（1）知∠ABC30°，∠BAC60°，∠ACB90°，∴∠DBE2∠ABC60°，∠DAF2∠BAC120°，∠FCE2∠ACB180°∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线∴DEBDBP10，EFCECF2CP2∵△ADF中，ADAF2，∠DAF120°，∴∠ADF∠AFD30°∴DF3AD6∴EF2DF210DE2∴∠DFE90°………………………………………………………4分
AF
图6
B
DPEC
∵S多边形BDAFE2SABCSDBESDFESDAF，
f∴2SABC
31121026263364222
……………………………………………5分…………………………………………………………7分
∴SABC
3362
（3）∠APB150°
说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N（如图7）由（2）知∠DBE2，∠DAF1802∵BDBE
，ADAFm，∴∠DBM，∠DAN90∴∠190，∠3∴DM
si
，DNmcos∴DEDFEF∴∠260°∴∠APB∠BDA∠1∠2∠3150°
AD1
32
B
PN
M
E
C
F
图7
【2013东城一模】24问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ABBCCD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN
1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量2
关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，ABBC，∠ABC∠ADC180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN
1∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，2
AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明
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24（本小题满分7分）
f解：（1）猜想的结论：MNAMCN．……………1分
（2）猜想的结论：MNCNAM．证明在NC截取CFAM，连接BF．∵∠ABC∠ADC180°，∴∠DAB∠C180°．
……………3分
又∵∠DAB∠MAB180°，∴∠MAB∠C．
∵ABBCAMCF，∴△AMB≌△CFB
．
∴∠ABM∠CBF，BMBF．∴∠ABM∠ABF∠CBF∠ABF．即∠MBF∠ABC．∵∠MBN
1∠ABr