同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由OB＝OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP＝OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
f∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°（∠AOP∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
f【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．3（2019天津10分）已经PAPB分别与圆O相切于点A，B，∠APB80°，C为圆O上一点（I）如图①，求∠ACB得大小；（II）如图②，AE为圆O的直径，AE与BC相交于点D，若ABAD，求∠EAC的大小
【解析】（I）如图，连接OA，OB∵PAPB是圆O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB即：∠OAP∠OBP90°∵∠APB80°∴在四边形OAPB中，∠AOB360°∠OAP∠OBP∠APB100°
∵在圆O中，∠ACB1∠AOB2
∴∠ACB50°
（II）如图，连接CE∵AE为圆O的直径∴∠ACE90°由（1）知，∠ACB50°，∠BCE∠ACE∠ACB40°
f∴∠BAE∠BCE40°∵在△ABD中，ABAD
∴∠ADB∠ABD1180BAE702
又∠ADB是△ADC的一个外角，有∠EAC∠ADB∠ACB∴∠EAC20°
4（2019浙江杭州12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝
∠OED（m，
是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m
2＝0．
【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC＝180°∠ABC∠ACB＝1r