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122组合
探究一组合数性质的应用
课堂探究
组合数的两个性质中的性质1主要应用于简化运算，性质2从右到左两个组合数合为一
个，实现了从繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简和证明，性质2的变形一般为Cm
－1＝Cm
＋1－Cm
，它为某些项的相互抵消提供了方便．
【典型例题1】1解方程组C3yxC＝xy＋C1＝2xy，11Cyx－12证明：C0
＋C1
＋1＋C2
＋2＋…＋Cm
－＋1m－1＝Cm
－＋1m思路分析：1解答的突破口在“Cyx＝C2xy”，因为等号两边是下标相同的两个组合数，故由组合数的性质1可得y＝2y或y＝x－2y2的证明应灵活应用Cm
＋1＝Cm
＋Cm
－11解：因为Cyx＝C2xy，所以y＝2y或y＝x－2y若y＝2y，则y＝0，y－1＜0，不合题意，舍去．所以y＝x－2y，即x＝3y，代入3Cyx＋1＝11Cyx－1，得3Cy3＋y1＝11Cy3－y1，即3y＋1！3y2！y－1！
＝11y－1！3y2！y＋1！化简得y2－5y＝0，所以y＝0舍去或y＝5，所以x＝15
所以方程组的解为x＝15，y＝5
2证明：左边＝C0
＋1＋C1
＋1＋C2
＋2＋C3
＋3＋…＋Cm
－＋1m－1＝C1
＋2＋C2
＋2＋C3
＋3＋…＋Cm
－＋1m－1＝C2
＋3＋C3
＋3＋…＋Cm
－＋1m－1＝C3
＋4＋C4
＋4＋…＋Cm
－＋1m－1…＝Cm
－＋2m－1＋Cm
－＋1m－1＝Cm
－＋1m＝右边，所以原式成立．
探究二与几何有关的组合问题
解答与几何图形有关的组合问题，其解题方法与一般组合问题的求解方法基本相同，只
要把几何图形中的隐含条件看作组合应用题中的限制条件即可．计算时可用直接法，也可以
用间接法，当限制条件较多的情况下，需要进行分类计算．
【典型例题2】α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点．1这些点最多能确定几条直线？几个平面？
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2以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？思路分析：注意题中关键字“最多”，理解其含义，分类完成计算．解：1在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定的平面和直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C29＝36条；又因三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定C24C15＋C14C25＋2＝72个平面．2同理，在其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多，此时最多能作C34C15＋C24C25＋C14C35＝120个三棱锥．探究三排列与组合综合应用解答排列组合综合性问题的一般思路方法是先选元素组合，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”．总的来说是：①r