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第九讲一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2bxc0a≠0称为一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．对于方程ax2bxc0a≠0，△b24ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即
当△0时，方程有两个相等的实数根，即
当△＜0时，方程无实数根．
分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．
因为
所以
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例2解关于x的方程：x2p2q2xpqpqpq0．解用十字相乘法分解因式得xppqxqpq0，所以x1ppq，x2qpq．例3已知方程2000x22001×1999x10的较大根为a，方程x1998x19990的较小根为β，求αβ的值．
2
解由方程2000x22001×1999x10得20002x1x10，
x1999x10，故x11999，x21，所以β1999．所以αβ119992000．例4解方程：3x1x14x1x1．分析本题容易犯的错误是约去方程两边的x1，将方程变为3x14x1，所以x2，这样就丢掉了x1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．解3x1x14x1x10，x13x14x10，x1x20，所以x11，x22．例5解方程：x23｜x｜40．分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．
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解法1显然x≠0．x＞0时，23x40，所以x14，21舍去．当当xxx＜0时，x23x40，所以x34，x41舍去．所以原方程的根为x14，x24．解法2由于x2｜x｜2，所以｜x｜23｜x｜40，所以｜x｜4｜x｜10，所以｜x｜4，｜x｜1舍去．所以x14，x24．例6已知二次方程3x22a5x3a10有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．解由方程根的定义知，当x2时方程成立，所以3×222a5×23a10，故a3．原方程为3x2x100，即x23x50，
例7解关于x的方程：ax2c0a≠0．分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．
当c0时，x1x20；
当ac＞0即a，c同号时，方程无实数根．例8解关于x的方程：m1x22m1xm30．
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分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m10与m1≠0两种情况不能r