初中数学竞赛辅导资料1
一元二次方程的根
甲内容提要1一元二次方程ax2bxc0a≠0的实数根，是由它的系数abc的值确定的
根公式是：x
－b±b24acb2－4ac≥02a
2根的判别式①实系数方程ax2bxc0a≠0有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0②有理系数方程ax2bxc0a≠0有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理数根③整系数方程x2pxq0有两个整数根p2－4q是整数的平方数3设x1x2是ax2bxc0的两个实数根，那么①ax12bx1c0a≠0，b2－4ac≥0，ax22bx2c0a≠0，b2－4ac≥0；②x1
－b＋b24ac－b－b24ac，x22a2a
ba
x1x2
a≠0b2－4ac≥0；
③
韦达定理：x1x2－
ca≠0b2－4ac≥0a
4方程整数根的其他条件整系数方程ax2bxc0a≠0有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数特殊的例子有：C0x10，abc0x11，a－bc0x1－1乙例题例1已知：abc是实数，且abc1求证：两个方程x2xb0与x2axc0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根年泉州市初二数学双基赛题）（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0
1－4b≤0　　　①2即a4c≤0　　②abc1　　③15由①得b≥，b1≥代入③，得445a－cb1≥，4c≤4a－5④4
②＋④：a2－4a5≤0，即（a－2）21≤0，这是不能成立的既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0
1
f∴方程x2xb0与x2axc0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数例2已知首项系数不相等的两个方程：（a－1）x2－a22xa22a0和b－1x2－b22xb22b0其中ab为正整数有一个公共根求ab的值年全国初中数学联赛题）（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是a和
a2；a1a2a1
方程②两根是b和
b2b1
由已知a1b1且a≠b∴公共根是a
b2b1
或b
两个等式去分母后的结果是一样的即ab－ab2ab－a－b13a－1b－13∵ab都是正整数，∴
a－1＝1a－1＝3；或b13b11
解得
a＝2；b4
或
a4b2
又解：设公共根为x0那么
a1x02a22xa22a0　①2（b1x0b22xb22b0　②
先消去二次项：
①×（b－1）－②×（a－1）得［－（a22）b－1b22a－1］x0a22ab－1－b22ba－r