高一数学正弦定理和余弦定理人教实验B版
【本讲教育信息】
一教学内容：正弦定理和余弦定理
二学习目标：
1、运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
2、熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
3、能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等
价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意对隐含条件的挖掘新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc特级教师王新敞wxckt126com新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc特级教师王新敞wxckt126com
三知识要点：
掌握三角形有关的定理：
正弦定理：abc2Rsi
Asi
Bsi
C
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosAb2c2a22bc
b2＝a2＋c2－2accosB，cosBc2a2b22ca
c2＝a2＋b2－2abcosC，cosCa2b2c2；2ab
内角和定理：∠A＋∠B＋∠C＝180°，
si
（A＋B）＝si
C，
cos（A＋B）＝－cosC，
cosC＝si
AB，
2
2
si
C＝cosAB
2
2
面积公式：S＝1absi
C＝1bcsi
A＝1casi
B
2
2
2
S＝pr＝ppapbpc（其中p＝abc，r为内切圆半径）2
【典型例题】
例1在ΔABC中，已知a＝3，b＝2，∠B＝45°，求∠A，∠C及边c。
解：由正弦定理得：si
A＝asi
B3si
453，
b
2
2
因为∠B＝45°90°且ba，
所以有两解∠A＝60°或∠A＝120°
（1）当∠A＝60°时，∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝75°，c＝
bsi
Csi
B
2si
75si
45

62
2，
f（2）当∠A＝120°时，∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝15°，c＝
bsi
Csi
B
2si
15si
45

62
2
思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情
况的讨论
例2
△ABC中，若ta
Ata
B

a2b2
，判断△ABC的形状。
解一：由正弦定理：si
AcosBsi
2A即：cosBsi
Asi
2Asi
2Bsi
BcosAsi
2AcosAsi
B
∴2∠A＝2∠B或2∠A＝1802∠B
即：∠A＝∠B或∠A＋∠B＝90
∴△ABC为等腰或直角三角形
解二：由题设：si
AcosB
a2

aa2c2b22R2ac
a2
cosAsi
Bb2b2c2a2bb2
2bc2R
化简：b2（a2＋c2b2）＝a2（b2＋c2a2）
∴（a2b2）（a2＋b2c2）＝0
∴a＝b或a2＋b2＝c2
∴△ABC为等腰或直角三角形。
思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手。
例3在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBbcosC2ac
（1）求角B的大小；
（2）若b＝13，a＋c＝4，求a的值
解：本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的三角函数等基础知识和利用三角公式进行恒等r