摭谈平面向量的十大交汇问题
安徽省五河第二中学刘瑞美（邮编：233300）由于平面向量融数、形于一体，具有几何与代数的“双重身份”，使它成为中学数学知识一个交汇点和联系其它知识点的桥梁，平面向量的运用可以大大拓宽解题的思路与方法，因而为高考试题的命题提供了比较丰富的背景，试题的形式也可以多种多样。平面向量进入中学课本以后，为中学数学的解题和探究提供了强有力的工具。通过研究近几年的高考试题，发现其综合性和交汇性越来越强，能力要求越来越高，学生往往感到难以下手，通过归类和整理，对平面向量知识的考查主要体现在以下十个交汇问题上。笔者精选典例加以简单导析，供学习和研究时参考。
一、与函数的交汇
y例1．已知向量a2cosα，2si
α，bsi
α，α，xat23b，kab，且xy0，cos
1求函数kft的表达式；2若t13，求ft的最大值与最小值。，解：1a4，b1，ab0，又xy0，
2
2


所以xyat23bkabka2t23b2tkt23ab0，
13313tt，即kftt3t44443232由1可得，令ft导数t0，解得t1，列表如下：44
所以kt－10极大值－1，1－递减10极小值1，3递增
ft导数ft
91119而f1，f1，f3，所以ftmax，ftmi
。22222
评注：本题是一道平面向量与函数及导数与函数最值有关的综合应用问题，既考查学生向量的知识，又考查函数的知识，对学生的要求较高，是一道进行综合训练的题目。例2、已知向量
xy与向量vy2yx的对应关系vfu表示。（1）证明：对任意的向量ab及常数m
恒有fma
bmfa
fb成立。（2）设a11b10，求向量fa与fb的坐标（3）求使fcpqpq为常数的向量c的坐标。解：（1）证明：设aa1a2bb1b2，则ma
bma1
b1ma2
b2，
1
f∴fma
bma2
b22ma22
b2ma1
b1，而mfa
fbma2
b22ma22
b2ma1
b1，∴fma
bmfa
fb成立。（2）fa121111；fb020101
x2pqyp（3）设cxy，则fcy2yxpq，∴即，∴c2pqqr