讲义平面向量与三角形四心的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）OAOBOC0O是ABC的重心
证法1：设OxyAx1y1Bx2y2Cx3y3
OAOB
OC

0
x1xx2xx3x0y1yy2yy3y0


x



y

x1x2x33
y1y2y33
的重心
证法2：如图
A
O是ABC
OAOBOC
OA2OD0
AO2ODA、O、D三点共线，且O分AD
为2：1
O是ABC的重心
O
E
B
D
C
（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂
足OAOBOBOCOBOAOCOBCA0
A
OBAC同理OABC，OCAB
EO
O为ABC的垂心（3）设abc是三角形的三条边长，O是ABC的内心
aOAbOBcOC0O为ABC的内心
B
D
C
证明：AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向量，cb
ABAC平分BACcb
1
fAOABAC，令bc
cb
abc
AObc（ABACabccb
化简得abcOAbABcAC0
aOAbOBcOC0
（4）OAOBOCO为ABC的外心。
三、典型例题：
例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAABAC，
0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC，0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）
ABAC
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
例3：1O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC，0，则点P的轨迹一定通过ABC的（
）
ABcosBACcosC
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC0则动点P的轨迹一定通过△ABC的ABsi
BACsi
C
A重心
B垂心
C外心
D内心
3已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOBOC
AB

AC
0则动点P的轨迹一定通过△ABC的
2
ABcosBACcosC
A重心
B垂心
C外心
D内心
例4、已知向量OP1OP2OP3满足条件OP1OP2OP30，OP1OP2OP31，求r