′内过B′作B′D⊥BC于D，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E∵△A′B′C′是边长为2的等边三角形，O′是中心，2323∴O′B′＝×2×＝，3234323同理OB＝，则BE＝OB－O′B′＝3323在Rt△B′EB中，BB′＝6，BE＝，3∴B′E＝4242，即棱台高为cm33
所以三棱台的体积为14233V棱台＝××16＋×4＋3344＝7143cm．333×16××444
1由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD＝×4－2＝12在Rt△B′DB中，BB′＝6，BD＝1，∴B′D＝5，即梯形的高为5cm所以棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧＝331×4＋×16＋3××2＋4×5442
2
＝53＋95cm．2所以棱台的表面积是53＋95cm，7143体积是cm3变式训练1解设该棱台的上、下底面边长分别为b和a，高为h，斜高为h′，侧棱长为l，
1则由题意得l＝h′＋a－b21h′＝h＋2a－b
2222
1S侧＝4a＋4bh′2
2

2
∵h′＝12，l＝13，S侧＝720，
f1∴13＝12＋a－b4112＝h＋4a－b
22222
1720＝×4a＋b×122
2
a＝20b，∴＝10h＝119
，
122∴V正四棱台＝×119×20＋20×10＋103＝7003119cm，3
7003即此四棱台的体积为119cm3例2解如图，在长方体中，PA、PB、PC两两互相垂直，显然AP⊥平面BPC
∴AP是三棱锥A－PBC的高．1∵S△BPC＝BPPC21＝×3×4＝6，2∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC1＝S△BPCAP31＝×6×2＝43变式训练2
解∵三棱锥P－ABC为正三棱锥，∴△ABC为正三角形，PA＝PB＝PC，∵侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且AB＝2，∴可建立如图所示的正方体，则PA⊥平面PBC，PA＝PB＝PC＝111∴V＝Sh＝S△PBCPA33
f111＝××1×1×1＝326例3解
由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23，取BC的中点D，连接VD，则VD＝VB－BD＝4－3＝13，11∴S△VBC＝×VD×BC＝×13×23＝39，22132S△ABC＝×23×＝33，22∴三棱锥VABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝339＋3．点V在底面ABC上的射影为H，则A，H，D三点共线，VH即为三棱锥VABC的高，VH＝VD－HD＝
22222222
122VD－AD3
＝13－1＝23，11∴VVABC＝S△ABCVH＝×33×23＝6，33所以正三棱锥的体积是6变式训练3C该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为12322，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为×2×3＝，所以3323该几何体的体积为2π＋3课时作业1．D上底半径r＝r