为▲．
13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．
14．设函数fx＝ax＋si
x＋cosx．若函数fx的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝fx在点A，B
处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．
二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内）
15．本小题满分14分
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．
P
E
A
D
B
C
第15题图
高三数学试卷第2页共18页
f16．本小题满分14分
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
于点Ax1，y1，α∈π4，π2．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点Bx2，y2．
（1）若x1＝35，求x2；（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
y
BA
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求ta
α的值．
DOC
x
17．本小题满分14分
第16题图
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，
分别在两条公路边上建两个仓库M、N异于村庄A，要求PM＝PN＝MN＝2单位：千米．如何设计，使
得工厂产生的噪声对居民的影响最小即工厂与村庄的距离最远．
C
PN
A
M
B
第17题图
18．本小题满分16分在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶ax22＋by22＝1a＞b＞0的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，
一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为0，b，求过P，Q，F2三点的圆的方程；（3）若→F1P＝λ→QF1，且λ∈12，2，求→OP→OQ的最大值．
高三数学试卷第3页共18页
f19．本小题满分16分已知函数fx＝ax＋xbex，a，b∈R，且a＞0．
（1）若a＝2，b＝1，求函数fx的极值；（2）设gx＝ax－1ex－fx．
①当a＝1时，对任意x∈0，＋∞，都有gx≥1成立，求b的最大值；②设g′x为gx的导函数．若存在x＞1，使gx＋g′x＝0成立，求ba的取值范围．20．本小题满分16分已知数列a
的各项都为正数，且对任意
∈N，a2
－1，a2
，a2
＋1成等差数列，a2
，a2
＋1，a2
＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意
∈N，且
≥2，都有aa
＋
1＜aa21．
高三数学试卷第4页共18页
f注意事项：
南r