常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
【典型例题】例1a
1ka
b型。
（1）k1时，a
1a
ba
是等差数列，a
b
a1b
（2）k1时，设a
1mka
m∴a
1ka
kmm
比较系数：kmmb
mb∴k1
b
b
∴
a


k
1是等比数列，公比为
k
，首项为
a1

k
1
∴
a


bk1

a1

bk
1k1
∴
a


a1

k
b1

k

1

k
b1
例2a
1ka
f
型。
（1）k1时，a
1a
f
，若f
可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知a
满足a1
1，a
1
a


1
1
求a
的通项公式。
解：
∵
a
1a

111
1
1
∴
a


a
1

1
1

1

a
1
a
2

1
2

1
1
11a
2a
3
3
2……
a3
a2

12

13
a2

a1
1
12
对这（

1）个式子求和得：
a


a1
1
1

∴
a

21

f（2）k1时，当f
a
b则可设a
1A
1Bka
A
B
∴a
1ka
k1A
k1BA
k1Aa∴k1BAb
解得：
A

k
a1
，
B

k
b1

k
a12
∴a
A
B是以a1AB为首项，k为公比的等比数列∴a
A
Ba1ABk
1
∴a
a1ABk
1A
B将A、B代入即可（3）f
q
（q0，1）
a
1ka
1等式两边同时除以q
1得q
1qq
q
C
令

a
q

C
1
则

kq
C


1q
∴C
可归为a
1ka
b型
例3a
1f
a
型。
（1）若f
是常数时，可归为等比数列。
（2）若f
可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：a1

13
，a


2
2


11
a

1
（



2）求数列a
的通项。
a
a
1a
2a3a22
12
32
5533解：a
1a
2a
3a2a12
12
12
3752
1
3
1
∴a
a12
12
1
例4
a


k
ma
1ma
1
型。
f1k11
考虑函数倒数关系有a

a
1m
1k1k
∴a

a
1m
C
令

1a

则C
可归为a
1ka
b型。
练习：
1已知a
满足a13，a
12a
1求通项公式。
解：
设a
1m2a
ma
12a
m∴m1
∴a
11是以4为首项，2为公比为等比数列
∴a
142
1
∴a
2
11
2已知a
的首项a11，a
1a
2
（
N）求通项公式。
解：
a
a
12
1
a
1a
22
2a
2a
32
3……
a3a222
a2a121a
a1212
1
2
∴a
2
1
3
已知a
中，a
1


2a
且a1

2求数列通项公式。
解：
a
a
1a
2a3a2
1
2
3
4212a
1a
2a
3a2a1
1
1
243
1
fa
2∴a1
1
∴
a

4
1
4
数列a
中，a
1

2
1a
2
1a

，a1
2，求a
的通项。
解：
12
1a

a
1
2
1a

∴
1a
1

1a


12
1
b
设

1a

∴
b
1

b


12
1
∴
b


b
1

12

1∴b
b
12

b
1
b
2

12
1
b
2
b
3

12
2
……
b3
b2r