不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0）1（0，0，a）1（a，a，a），D，B，E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．∴BD1（－a，－a，a）AB1（0，a，a）EF（－xE，yF，0）AC（－a，a，0），，，，，B1C（－a，0，－a）∵BD1AB1－a，－a，a0，a，a0，∴BD1⊥AB1，同理BD1⊥AC，












而AB1与

∴BD1⊥平面ACB1，又已知BD1⊥平面EFG，∴平面EFG∥平面ACB1；又因为BD1⊥平面EFG，所以BD1⊥EF，则BD1EF0，即－a，－a，a－xE，yF，00，化简得xE－yF0；同理易得xE－zG0yF－zG0，



∴△EFG为正三角形．2解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，EFA1C12a，∴SEFGSACD11
CA


不共线且相交于点A，



D1EA1PGDxA
z
FO1B1J
C1
K
yCB
O
EF

EF

FG
，
图5
12


A1C11Dsi
600A
15
f高中数学人教B同步测试
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132a222

3a2．2
此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1
aaa，，a，Ha，a，，而O1H作为平面A1C1D的法向量，222
所以异面直线EF与B1C的距离设为d是
a2a2O1H43a．dO1B14233aO1H4


证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．
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