习题二解答
（一）
1用初等变换把下面矩阵化为简化行阶梯形矩阵：
1221
12
33
1


3443
0231
2034
3


0471
11343
33
3
5
4
1


22326
33421
23137
412024
32830
2374
3

123452345
5452
1133
6021212230114
1203
7471100112
231
4

解：1
113
8123137111
122112211221
233
1


0
11
3


0
1
1
3

344302260000
1221100501130113
00000000
02310105
20
3
4
3


0
0
13
04710000
1134311020
33354
1


0
0
120
2232600001
3342100000
2313710202
41
2
0240110
3


3283000014
2374
3

00
0
0
0

1
f12341002
52345010
3


54520010
11331000
6021201001223001001140001
12031021
747
1
1001
1
2


01120000
231
4

000
0

113101
8123012137000
111
000
2设
a11a21a31
100
Aa12
a22
a32

，
P1

0
0
1，
a13a23a33
010
100
100
P2030，P3010，
001
401
计算PiA及APii123
a11a21a31
解：P1Aa13
a23
a33

a12a22a32
a11a21a31
P2A3a12
3a22
3a32

a13a23a33
a11
P3
A


a12
4a11a13
a21a224a21a23
a31
a32

4a31a33
2
fa11a31a21
AP1


a12
a32
a22

a13a33a23
a113a21a31
AP2a12
3a22
a32

a133a23a33
a114a31a21a31
AP3a124a32
a22
a32

a134a33a23a33
3．若对可逆矩阵A施行下列初等变换：
1交换矩阵A的第i行与第j行；
2将A的第i行乘以非零常数k3A的第j行各元素加上第i行对应元素的k倍，
则A1相应地发生了什么变化？
解：1A1Eij
2A1Ei1k
3A1Ejik
4设1234
A23455452
1求可逆矩阵P使PA为简化行阶梯形矩阵；2求可逆矩阵Q使QAT为简化行阶梯形矩阵
解：1
1234
1234100
A2345r22r10123210A
5452
5452001
3
f1234100100
r35r1012
3



0
10210A
061018501001
1234100100100
r36r201230
1
0

0
10210A
0020061501001
1234100100100100
r201230100
1
0

0
10210A
0020001061501001



12
r3

10
21
32
4130
01
01
0

0
01
0100
01
01
0

0
0010010210A
0
0
1
0
0
0
1

0
0
10615010
01

2


1234100100100100100100
r22r30
1
0
30
1
20
1
0

0
1
00
1
0

0
10210A
001000
1

0
0
1

0
0
10615010
01

r