几种常见数列求和方法的归纳
1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。
（1）等差数列的求和公式：S


a1a
2


a1


1d2
殊方法：倒序相加）
（等差数列推导用到特
（2）等比数列的求和公式S


aa111qq1
1q
q
1
（切记：公比含字母时一定要讨论）

（3）k2122232

2
12
1
k1
6
（不作要求，但要了解）
例：（1）求246…2

（2）求x…x
2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。
例：（1）求证：等差数列
的前

项和S


a1a
2


a1


1d2
（2）si
21si
22si
23si
289
3分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
例：（1）求和：1S
111111111
个
10
19
1081
（2）S


x

12x

x2

1x2
2

x


1x

2
当x
1时，S


x2
1x2
21x2
x21
2

当x1时S
4

1
f4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）
常见的拆项公式：111
1
111

1
1，2
12
122
12
1，
1111，
22
2
2
21
1
，
2
12
12
12
1
112
12
3
2
12
3
2
例：（1）求和：1111132435
2

（2）求和S

22
13
4235

2
22
12
1
S


2
12
1
5．错位相减法：比如a
等差b
等比求a1b1a2b2a
b
的和适用于：等差数列乘
以等比数列的通项求和
例：求和：a2a23a3
a

当a
1时，S

1
23
…



12
，
当a
1时，
S


a
2

1a
11a2

a
2
f6．合并求和法：如求10029929829722212的和。
5050
练：已知数列a
的前
项和S
＝
2＋2
，
∈N
1求数列a
的通项公式；
a
＝

2设b
2a
1
a
，求数列b
的前2
项和．T2
＝22
＋1＋
－2
7．分类讨论求和
（1）分奇偶项：奇数项是一个数列，偶数项又是一数列。（分组求和法的变通）。
6
5
为奇数
例：已知数列a
的通项a
2

为偶数，求其前
项和S
．
S


3
2

2

2

42
13
1


3
2
5

42
13

为奇数
为偶数
3
f（2）分正负：数列中一些项为正，一些项为负。
例：已知公差为d的等差数列a
，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列，（1）求d，a
，（2）若d0，求a1a2a3a
。
d4a
4
6或d1a
11
21

S





210

11

2

11
11
4
fr