数列求和
一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前
项和：123……

1，135……2
1
2
2
12
22
32
……
2

12
1，132333……
36


2
1
2

等
例1求1222324252629921002．
解：原式22124232625210029923711199．
由等差数列求和公式，得原式5031995050．2
变式练习：已知log3
x

1log23
，求
x

x2

x3

x


的前
项和
1解：1－2
二、倒序相加法此方法源于等差数列前
项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项
相加有公因式可提取，以便化简后求和
例2
求12
12102

222292

323282


102102
12
的和．
解：设S122232102
1210222923282
10212
则S

10210212

922292

823282

1210212
．
两式相加，得2S11110，S5．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：1111，
1
1
k
，

kk
k

k
k
1
111，等
2
12
122
12
1
f例3已知1222
21
12
1，6
求
312
12
522
12
722
32


12

2
122


2



N
的和．
解：
a

12
2
122
2

2
11
12
1

6，
1
6
S


6
112

123


1

1


6
1

12



12

13



1


1

1

6
1


11

l
1
小结：如果数列a
的通项公式很容易表示成另一个数列b
的相邻两项的差，即
a
b
1b
，则有S
b
1b1这种方法就称为裂项相消求和法
变式练习：求数列1，1，1，…，1，…的前
项和S
132435

2
解：∵1111）
22
2
S

12
1
13

12

14



1



1
2

12
1
12



11



1
2

34

12

2

12

4
四、错位相减法
源于等比数列前
项和公式的推导，对于形如a
b
的数列，其中a
为等差数列，b
为等比数列，均可用此法
例4求x3x25x32
1x
的和．
解：当
x
1时，
S


x1x

2x21x
11x2

2
1x
11x
；
当x1时，S
2．
小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列b
的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前
项和公式求和
f变式练习：求数列a2a23a34a4…
a
…a为常数的前
项和。
解：（1）若a0则S
0（2）若a1则S
123…

12
（3）若a≠0且a≠1
则S
a2a23a34a4…
a
，∴aS

a22a33a4…
a
1
∴1aS
aa2a3…a
a
1
aa
1
a
11a
∴
S

aa
11a2


a
11a
a

1
当a0时，此式也成立。
∴S


1a1
aa2
1
a
11a21aa1
五、分组求和法
若数列的通项是若干r