专题十一
数列应用（3）
（解决数列的建模与解模问题）
考试说明要求：数列的概念A级，等差、等比数列C级高考试题应用：数列的综合应用有二种情况，一是在应用题中解决问题时建模，这类试题是中档题；二是在压轴题中出现，一般与函数、不等式结合，这类试题是难题解决问题指南：通过变形或转换向定义靠近，利用熟悉的性质解决特殊数列有关的问题能与函数、不等式、三角函数、导数、几何知识整合解答数学应用题的核心是建立数学模型，有关增长率、利率（复利）以及分期付款等实际问题，需利用数列知识建立模型常用的数学模型有：①构造等差、等比数列的模型，然后再应用数列的通项公式和求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解一、能力展示1．对于数列a
，定义数列a
1a
为数列a
的“差数列”，若a12a
的“差数列”的通项为2，则数列a
的前
项和S
2．若数列a
的通项公式a



1，记f
21a11a21a
，则
12
f


3．图（1）（2）（3）（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉、、、祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第
个图形包含f
个“福娃迎迎”，则
f
f
1
（答案用数字或
的解析式表示）
二、能力培养1已知函数fxe，对于曲线yfx上模坐标成等差数列的三个点ABC，给出
x
以下判断：①ABC一定是钝角三角形；③ABC可能是等腰三角形；其中，正确的判断序号是
②ABC可能是直角三角形；④ABC不可能是等腰三角形
1
f2已知数列1
121231234，该数列是具有一定规律性的22333444419（1）若ak，求k的值；20
（2）若S
11，求
的最大值
3．某企业今年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第
年（今年为第一年）的利润为5001
1万元（
为正整数）2

（1）设从令年起的前
年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A
万元，进行技术改造后的累计纯利润为B
万元（须扣除技术改造资金），求A
、B
的表达式；（2）依上述预测一下：从长远效益来看，该企业有没有进行技术改造的必要？如有必要，则至少要经过多少年后，才能初见进行技术改造的成效？请说明理r