2，故数列a
1a
是首项为
a1a02，公差为2的等差数列，因此a
1a
2
2．
于是a

akak1a02k0
1．
k1k1



因为
1111
1，所以a

1
1
111111111111．a1a2a2009223200920102010
14分10解令x1x2x3x，x4x5y，x6z，则x3y2z1．先考虑不定方程x3y5z21满足x3y2z1的正整数解．
x3y2z1，5z21x3y12，1z2．5分
当z1时，有x3y16，此方程满足x3y2的正整数解为xy1027344．当z2时，有x3y11，此方程满足x3y2的正整数解为xy52．所以不定方程x3y5z21满足x3y2z1的正整数解为
3
fxyz1021731441522．
10分
又方程x1x2x3xxNx3的正整数解的组数为C2方程x4x5yyNx2的x1，正整数解的组数为C1y1，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为
2121211C9C1C6C2C3C3C24C136309681．15分
11证明1设Ax1y1，则y1由y
12x1．2
12x得yx，所以yxx1x1．2
于是抛物线C在A点处的切线方程为yy1x1xx1，即yx1xy1．设Px0kx01，则有kx01x0x1y1．设Bx2y2，同理有kx01x0x2y2．所以AB的方程为kx01x0xy，即x0xky10，所以直线AB恒过定点Qk1．2PQ的方程为y7分
1kx02xk1，与抛物线方程yx2联立，消去y，得2x0k
2kx042k22x02kxx0．x0kx0k
2
设Mx3y3，Nx4y4，则
x3x4
2kx042k22x02kx3x4x0kx0k
x3x0kx3，即x4x0x4k
①
要证
PMPN

QMQN
，只需证明
2x3x4kx0x3x42kx00
由①知，②式左边
②
22k22x04k2kx04kx02kx0x0kx0k22k22x04kkx02kx042kx0x0k0．x0k
4

f故②式成立，从而结论成立．
r