高中数学辅导网httpwwwshuxuefudaocom
2009年全国高中数学联合竞赛试题．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）x991．若函数fx．且f
xfffLfx，则f142144244431x

．
【答案】答案】
110
x
1【解析】fxfx解析】
1x2
，
x
f
2
xx
ffx
12x2
……
199x21故f991．10
f
99
x
．
9则圆心M到直线AC的距离dAMsi
45°，由直线AC与圆M相【解析】设Aa，a，解析】34．2解得3≤a≤6．
已知直线Lxy90和圆M2x22y28x8y10，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，∠BAC45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围．为答案】6【答案】3，2．．
交，得d≤
3．
y≥0，N是随t变化的区域，它由在坐标平面上有两个区域M和N，M为y≤xy≤2x不等式t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数ft．
12解析】【解析】由题意知ftS阴影部分面积
【答案】t2t答案】
y
SAOBSOCDSBEF1121t21t221t2t2
ACDFEBx
O
1111La2007对一切正整数
都成立的最小正整数
1
22
13a的值为．答案】【答案】2009
4．
使不等式
京翰教育1对1家教httpwwwzgjhjycom
f高中数学辅导网httpwwwshuxuefudaocom
【解析】设f
解析】
111L．显然f
单调递减，则由f
的最大值
1
22
11f1a2007，可得a2009．3
x2y21ab0上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积OPOQ的最a2b2小值为．222ab答案】【答案】2ab2解析】【解析】设POPcosθ，OPsi
θ，
5．．
椭圆
ππQOQcosθ±，OQsi
θ±．22由P，Q在椭圆上，有
1OP1OQ
22

cos2θsi
2θ2a2bsi
2θcos2θa2b2
①
②
①②得111122．22abOPOQ于是当OPOQ2a2b22a2b2时，OPOQ达到最小值2．22abab2．
6．
若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是
【答案】k0或k4答案】kx0解析】【解析】x102kxx1
当且仅当kx0x10x22kx10
①②③
对③由求根公式得1x1，x2k2±k24k2
④
k24k≥0k≤0或k≥4．当k0时，由③得x1x2k2r