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双曲线及其几何性质
作者：郑怡吴甬翔来源：《数学金刊高考版》2015年第01期
圆锥曲线作为数学高考的重要考点，是考查同学们的数形结合思想以及运算能力的绝佳载体新课标对双曲线部分的要求为“了解其定义、图形及标准方程；知道它的简单几何性质”，故本部分的复习应以基础题、常规题为主，不宜过度拔高重点难点重点：双曲线的定义、标准方程，双曲线的几何性质（如：离心率、渐近线等）？摇难点：双曲线的渐近线与双曲线图形的关系，直线与双曲线的位置关系等相关的综合问题方法突破1求双曲线标准方程的方法（1）定义法：①根据题设条件判断曲线是否满足双曲线的定义；②直接求出a，b，c；③写出方程（2）待定系数法：①确定焦点的位置；②设出待求方程；③确定相关系数；④写出方程常用的方程设法有：①若不能明确焦点的位置，可设双曲线的方程为mx2
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2双曲线的几何性质双曲线的几何性质实质上是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系3双曲线的离心率（1）求双曲线离心率的常见方法：一种是依据条件求出a，b，c，再计算e；另一种是建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，最后求出e的值（2）求离心率的范围时，常结合条件建立关于参数a，b，c的不等式，进而转化为关于离心率e的不等式，最后解不等式得之4直线与双曲线的综合问题
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（1）直线与双曲线位置关系的判定：通常联立方程组，消去一个变量后转化为关于变量x（或y）的一元二次方程首先考虑二次项系数是否为0，当二次项系数等于0时，方程为关于x（或y）的一元一次方程，有且仅有一个解，直线与双曲线相交于一个交点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线当二次项系数不为0时，考虑该一元二次方程的判别式Δ，有如下结论：Δ0？圳直线与双曲线相交于两个点；Δ0？圳直线与双曲线相交于一个点；Δ（2）涉及求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”求解，即通过“设而不求”，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来例如，若双曲线的方程为1，点A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则kAB典例精讲1双r