h2
0
6q0h31h3fxq0xx2lh3248l6q330xh1h3f2x0248lh
由第二式,得
f2x
将其代入第一式,得
q0x2l
自然成立。
q0qqx0x0x2l2ll
将f2x代入y的表达式,有
6q0y312qy3xhy0x342llh
所求应力分量的结果:
(5)
x
2qMy30x3yIlh3q02212xyh4lh3
(6)
xy
6q0y312qy3xhy0x342llh
校核梁端部的边界条件:(1)梁左端的边界(x0):
3
f
h2h2h2h2
h2h2
x
dy0,2hxyx0
2
h
x0
dy0
代入后可见:自然满足。
(2)梁右端的边界(xl):
x
xl
dy
h2h2h
2q0x3ydy0lh3xl
xy
xl
dy2h
3q0x22h2qlydy03422lhxl
h2h2
h2h2
x
ydyxl
2qx303y2lh
2ql3dy03y33lhxl
h2h2
q0l2M6
可见,所有边界条件均满足。检验应力分量xxyy是否满足应力相容方程:常体力下的应力相容方程为
222xy22xy0xy
将应力分量xxyy式(6)代入应力相容方程,有
212q0xy,212q0xyyyx2xlh3y2xlh3
2224q2xy22xy30xy0xylh
显然,应力分量xxyy不满足应力相容方程,因而式(6)并不是该该问题的正确解。3.一端固定,另一端弹性支承的梁,其跨度为l,抗弯刚度EI为常数,梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用,如图所示。试:(1)构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数wx;(2)用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解(取1项待定系数)。(13分)
题二(3)图
4
f解:两种形式的梁挠度试函数可取为
wxx2A1A2xA3x2
wxAm1cos
m1
多项式函数形式
2mxl
三角函数形式
此时有:
wxx2A1A2xA3x2
x0
0
x0
wx2xA1A2xA3x2x2A2A3x
0
wxAm1cos
m1
2mx0lx00
x0
wxAm
m1
l2mxsi
2ml
即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为
l1ld2w12ΠEIdxqwxdxkwl20022dx2
取:wxA1x,有
2
dr