高中数列部分典型例题
一：数列基本概念及等差数列部分：
1（1）数列a
和b
满足a

1b1b2b
（
1，2，3），

（1）求证b
为等差数列的充要条件是a
为等差数列。（2）数列a
和c
满足c
a
2a
1
N，探究a
为等差数列的充分必要条证明：（1）必要性则a
若b
为等差数列，设首项b1，公差d
1
1
1
b1db1d
22dd∵a
1a
∴a
为是公差为的等差数列22
充分性若a
为等差数列，设首项a1，公差d则b1b2b
a1
1dd
2a1d

b1b2b
1d
12a1d
1
∴b
2d
a12d

2

2
当
1时，b1a1也适合∵b
1－b
2d，∴b
是公差为2d的等差数列（2）结论是：a
为等差数列的充要条件是c
为等差数列且b
b
1其中b
a
a
2（
1，2，3）
2已知为锐角，且ta

21，
2函数fxxta
2xsi
2

4
，数列a
的首项a1
1a
1fa
2
⑴求函数fx的表达式；⑵求证：a
1a
；⑶求证：1解：⑴ta
2
1112
2
N1a11a21a
又∵为锐角
2ta
221121ta
1212
∴2

4
∴si
2

4
1
fxx2x
f2⑵a
1a
a

∵a1
12
∴a2a3a
都大于0
2∴a
0
∴a
1a

⑶
1a
1
∴

1111aa
a
1a
a
1a
2

1111a
a
a
1
1111111111a11a21a
a1a2a2a3a
a
11112a1a
1a
1
121333a321又∵
2a
1a
2444
∴12
∴

2∵a2
∴a
1a31
1a
1
2
∴1
11121a11a21a

3已知数列（1）求
a
满足a11a
3
1a
1
2
3
12

a2a3；
a

（2）证明：解：（1）
a11a2314a332413
（2）证明：由已知
a
a
13
31

1
，故
a
a
a
1a
1a
2a2a1
a13
13
2
3
13
1a
2，所以证得2
4
已知数列
a
的前三项与数列b
的前三项对应相同，且a

2
1a
8

对任意的
N都成立，数列
b

1
b

⑴求数列
a
与b
的通项公式；

是等差数列
1
2a222a3
⑵是否存在r