面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1证明：3设AD1，A1D的交点为O，连接OE因为ADD1A1为正方形，所以O是AD1的中点，在△AD1B中，OE为中位线，
f所以OE∥BD1又OE平面A1DE，
BD1平面A1DE，
所以BD1∥平面A1DE
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12证明：1如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O0，0，0，A－1，0，0，B1，0，0，C0，1，0，
P0，0，2，D－，，0．
设
1＝x1，y1，z1是平面POD的一个法向量，→→则由
1OD＝0，
1OP＝0，
12
12
－1x1＋1y1＝0，2得2所以z1＝0，x1＝y1取y1＝1，2z1＝0
得
1＝1，1，0．设
2＝x2，y2，z2是平面PAC的一个法向量，则
－x2－2z2＝0，→→由
2PA＝0，
2PC＝0，得y2－2z2＝0
所以x2＝－2z2，y2＝2z2取z2＝1，得
2＝－2，2，1．因为
1
2＝1，1，0－2，2，1＝0，所以
1⊥
2从而平面POD⊥平面PAC2因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
3＝0，1，0．由1知，平面PAC的一个法向量为
2＝－2，2，1．设向量
2和
3的夹角为θ，

2
3210则cosθ＝＝＝
2
355
由图可知，二面角BPAC的平面角与θ相等，所以二面角BPAC的余弦值为105
13证明：（1）在△ABC中，C90DEBCADDE
A1DDE又A1DCDCDDEDA1D面BCDE
f由BC面BCDEA1DBC
BCCDA1DCDDBC面A1DC
（2）如图以C为原点，建立空间直角坐标系．
D200E220B030A1204
．
设
xyz为平面A1BC的一个法向量，因为CB030CA1204所以
3y02x4z0


，
令x2，得y0z1所以
201为平面A1BC的一个法向量．设BE与平面A1BC所成角为．则si
cosBE
45545
A1
z
．
45
x
．E
D
C
所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为（Ⅲ）设Dx00则A1x06x，
A1Bx0036x0
222
y
B

2x12x45
2
当x3时A1B的最小值是33．即D为AC中点时A1B的长度最小最小值为33．
14证明：（1）连接BD与AC相交于点O，连结EO．因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．因为E为棱PD中点．所以PBEO．因为PB平面EACr