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面ABC1D1,
所以A1D⊥平面ABC1D1证明:3设AD1,A1D的交点为O,连接OE因为ADD1A1为正方形,所以O是AD1的中点,在△AD1B中,OE为中位线,
f所以OE∥BD1又OE平面A1DE,
BD1平面A1DE,
所以BD1∥平面A1DE
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12证明:1如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O0,0,0,A-1,0,0,B1,0,0,C0,1,0,
P0,0,2,D-,,0.

1=x1,y1,z1是平面POD的一个法向量,→→则由
1OD=0,
1OP=0,
12
12
-1x1+1y1=0,2得2所以z1=0,x1=y1取y1=1,2z1=0

1=1,1,0.设
2=x2,y2,z2是平面PAC的一个法向量,则
-x2-2z2=0,→→由
2PA=0,
2PC=0,得y2-2z2=0
所以x2=-2z2,y2=2z2取z2=1,得
2=-2,2,1.因为
1
2=1,1,0-2,2,1=0,所以
1⊥
2从而平面POD⊥平面PAC2因为y轴⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为
3=0,1,0.由1知,平面PAC的一个法向量为
2=-2,2,1.设向量
2和
3的夹角为θ,

2
3210则cosθ===
2
355
由图可知,二面角BPAC的平面角与θ相等,所以二面角BPAC的余弦值为105
13证明:(1)在△ABC中,C90DEBCADDE
A1DDE又A1DCDCDDEDA1D面BCDE
f由BC面BCDEA1DBC
BCCDA1DCDDBC面A1DC
(2)如图以C为原点,建立空间直角坐标系.
D200E220B030A1204


xyz为平面A1BC的一个法向量,因为CB030CA1204所以
3y02x4z0



令x2,得y0z1所以
201为平面A1BC的一个法向量.设BE与平面A1BC所成角为.则si
cosBE
45545
A1
z

45
x
.E
D
C
所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为(Ⅲ)设Dx00则A1x06x,
A1Bx0036x0
222
y
B

2x12x45
2
当x3时A1B的最小值是33.即D为AC中点时A1B的长度最小最小值为33.
14证明:(1)连接BD与AC相交于点O,连结EO.因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD中点.因为E为棱PD中点.所以PBEO.因为PB平面EACr
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