优秀学习资料欢迎下载
高中数学奥赛讲义：
竞赛中常用的重要不等式
【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用
【要点讲解】目录§1柯西不等式§2排序不等式§3切比雪夫不等式★★★§1。柯西不等式
定理1对任意实数组
恒有不等式“积和方不大于方和积”，即
等式当且仅当
时成立。
本不等式称为柯西不等式。
思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1
∴右左
当且仅当定值
时，等式成立。
思路2注意到
时不等式显然成立，当
左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明2
当
时等式成立；
当
时，注意到
时，不等式
f优秀学习资料欢迎下载
1故当且仅当
且（两次放缩等式成立条件要一致）
即
同号且
常数，
f优秀学习资料欢迎下载
亦即思路3根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。证明3构造函数
由于
。恒非负，故其判别式
即有
等式当且仅当
常数时成立。
若
柯西不等式显然成立。
例1证明均值不等式链：
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证设
本题即是欲证：
本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法
1先证注意到
欲证①即需证
此即由柯西不等式易知②成立从而①真
①②
11再证欲证③只需证
③
f而④即要证
优秀学习资料欢迎下载
④
注意

由柯西不等式知⑤成立
ⅠⅡ中等式成立的条件都是
说明：若再利用熟知的关系
⑤
即各正数彼此相等★
（其中
，结合代换
，
即
当且仅当
时，等式成立，
说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等
式链
其中等式成产条件都是§２．排序不等式
定理２设有两组实数，
．满足
则例序积和（乱序积和）（须序积和）
f优秀学习资料欢迎下载
其中
是实数组
时成立。说明本不等式称排序不等式，俗称例序积和乱序积和须序积和。证法一．逐步调整法
首先注意到数组
一个排列，等式当且仅当
或
也是有限个数的集合，从而
也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。
设
注意下面的两个和
注意
，S（★）
可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组由小到大的顺序排列，最小的和就对应
数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的越大（小），其中ｉ＝１，２……，
。
只要适当调整，如★所示就可越调
证法＝设
由则显见
的一个k阶子集
等式当且仅当式
f优秀学习资料欢迎下载
r