数形结合
四川省荣县中学校刘志刚
前言：2009年高考对数学学科考查要求的说明中第2条明确指出考查的数学思想方法
包括：①函数与方程的思想；②数形结合的思想；③分类与整合的思想；④化归与转化的思想；
⑤特殊与一般的思想；⑥有限与无限的思想；⑦或然与必然的思想。本节课将就与高中知识相
关的数形结合思想方法做一探索。
引例：参加科技夏令营的成员有大学生、高中生、初中生、小学生，老师乃一大学教授。
老师出题：这是第21届全苏数学奥林匹克竞赛题，“正数a、b、c、、B、C满足
aAbBcCk，求证：aBbCcAk2”大学生：原命题akbbkcckak20且a、b、c∈0k令fckabckababk2（将上式左边看成关于c的函数）
①kab0时，fck2abk2ab0
②kab0时，fc为关于c的一次函数

ff
0k

kabab0

ab

k2

k

ab

k

0
fc在0k上恒为负值。
综合①②知fc0，故aBbCcAk2。得意归纳：“巧用数学建模，构造法，妙证奥赛题。”
高中生：k3aAbBcC
abcABCaBcCbcaAcAbB
abcABCkaBbCcA
kaBbCcAaBbCcAk2
忘形点题：“妙用转化思想，放缩法，巧证奥赛题。”
初中生：
小学生：
谦虚点题：巧妙的数形结合，图象法。
3
f课堂教学：
例1：设0abc，比较l
a1、l
b1、l
c1的大小关系。
a
b
c
例2：已知fxxaxb2其中ab且、是方程fx0的两根，则实数a、b、、的大小关系为
A．abB．abC．abD．ab
例3：已知fx0lgx1
x1x1
求f2xbfxc0有7个不同实数根的充要条件。
例4：函数ylog1x定义域为xab，值域为02，求ba的最大值与最小值的差。
2
例5：设Ax2xaByy2x3xACzzx2xA若CB，
求实数a的取值范围。
3
f例6：若方程lgx23xmlg3x在03内有唯一解，求实数m的范围。
课堂练习
1：已知fx1xaxb且m、
是方程fx0的两根，则实数a、b、m、
的大
小关系可能是（）。
A．mab

B．am
b
C．amb

D．ma
b
2：已知集合Pxyy9x2、Qxyyxb，若PQ，则b的取值范围是。
A．b3
B．b32
C．3b32D．3b32
3：已知y
fx是定义在R上的单调函数，实数x1
x2
1


x1x21
，


x2x1，若1
fx1
fx2

f
f，则（
）。
A．0且1B．0
C．01
D．1
课堂小结：１．数形结合思想在各地每年的高考中均有体现，尤其是以r