《线性代数》公式大全
基本运算
①ABBA
②ABCABC
③cABcAcBcdAcAdA
④cdAcdA
⑤cA0c0或A0。
ATTA
ABTATBT
cATcAT。
ABTBTAT

121
C
2


1
2
Da21A21a22A22a2
A2

转置值不变ATA
逆值变A11A
cAc
A
1212
A123，3阶矩阵B123
ABAB
AB112233
AB112233
AA0

AB
0BB
fEijc1
有关乘法的基本运算
Cijai1b1jai2b2jai
b
j
线性性质A1A2BA1BA2B，AB1B2AB1AB2cABcABAcB
结合律ABCABC
ABTBTAT
ABAB
AkAlAkl
AklAkl
ABkAkBk不一定成立！
AEA，EAA
AkEkA，kEAkA
ABEBAE
与数的乘法的不同之处
ABkAkBk不一定成立！
无交换律
因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如
A22A3EA3EAE
无消去律（矩阵和矩阵相乘）
当AB0时A0或B0由A0和AB0B0由A0时ABACBC（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。
左消去律：ABACBC。右消去律：BACABC。如果A列满秩，则A有左消去律，即①AB0B0②ABACBC
可逆矩阵的性质
fi）当A可逆时，
AT也可逆，且AT1A1T。
Ak也可逆，且Ak1A1k。
数c0，cA也可逆，cA11A1。
c
ii）A，B是两个
阶可逆矩阵AB也可逆，且AB1B1A1。
推论：设A，B是两个
阶矩阵，则ABEBAE
命题：初等矩阵都可逆，且
Eij1Eij
Eic1

E
i
1c


Eijc1Eijc
命题：准对角矩阵
A11000
A111
0
0
0
0A
0
A2200
00
可逆每个Aii都可逆，记A1
00
A122
0
0
00
000Akk
0
0
0
A1kk
伴随矩阵的基本性质：
AAAAAE
当A可逆时，AAEA
得A1A，（求逆矩阵的伴随矩阵法）A
且得：A1AA1A
伴随矩阵的其他性质
①AA
1
AAr