任意四边形、梯形与相似模型
例题精讲
板块一任意四边形模型
任意四边形中的比例关系“蝴蝶定理”：D
AS1
S2O
S4
S3
B
C
①S1S2S4S3或者S1S3S2S4
②AOOCS1S2S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
【例1】小数报竞赛活动试题如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
C
BO
A
D
【分析】根据蝴蝶定理求得S△AOD31215平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231575平方千米，所以人工湖的面积是75692058平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AGGC？
423任意四边形、梯形与相似模型题库
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fA
D
1
23G
BC
【解析】⑴根据蝴蝶定理，SBGC123，那么SBGC6；
⑵根据蝴蝶定理，AGGC123613．？？？
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O如图所示．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且AO2，DO3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．3
A
D
O
A
D
GHO
B
C
B
C
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条
件SABDSBCD13，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改
造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再
应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学
生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵AOOCSABDSBDC13，∴OC236，
∴OCOD6321．
解法二：作AHBD于H，CGBD于G．
∵
SABD

13
SBCD
，
∴AH1CG，3
∴
SAOD

13
Sr