必修5高二数学导学案
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课题：解三角形知识点总结
编写人：张坤平
审核人：高二数学备课组
学习目标：学生自己总结解三角形知识点
一正弦定理：
1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外
接圆的直径，即abc2R（其中R是三角形外接圆的半径）si
Asi
Bsi
C
2变形：1）
abc
abc．
si
si
si
Csi
si
si
C
2）化边为角：abcsi
Asi
Bsi
C；
asi
Absi
Basi
Absi
Bcsi
Ccsi
C3）化边为角：a2Rsi
Ab2Rsi
Bc2Rsi
C
4）化角为边：si
Aasi
Bbsi
Aasi
Bbsi
Ccsi
Cc
5）化角为边：si
Aasi
Bbsi
Cc
2R
2R
2R
3利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意边，求其他两边和另一角；
例：已知角BCa，
解法：由ABC180o，求角A由正弦定理asi
Absi
Bbsi
Bcsi
C
asi
A求出b与ccsi
C
②已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边abA
解法：由正弦定理asi
A求出角B由ABC180o求出角C，再使用正bsi
B
弦定理asi
A求出c边csi
C
如：①已知A60a2b23求B有一个解
②已知A60b2a23求B有两个解
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二三角形面积
1SABC

1absi
C2

1bcsi
2
A

1acsi
B2
2
SABC

1abcr2
其中r
是三角形内切圆半径
宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来
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三余弦定理1余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
a2b2c22bccosAb2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
2变形：cosAb2c2a2
a2c2b2cosB
a2b2c2cosC
2bc
2ac
2ab
注意整体代入，如：a2c2b2accosB12
3．利用余弦定理判断三角形形状：
设a、b、c是C的角、、C的对边，则：
①若，②若c2b2a2A为直角
，所以为锐角
③若
，视所线以为钝角，则
是
钝角三角形
41）利已用知余三弦边定，理求可三以个解角决下列两类铅直三角形的问仰题角：
2）已知两边和它们的夹角，求第三线边和其他两个角
四、应用题
俯角
水平线
1已知两角和一边（如A、B、C），由ABCπ求C，由正弦定理求a、b．
2已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理
先求较短边所对的角，然后利用ABCπ，求另一角．3已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），视应线用正弦定理求B，由ABC
π求C，再由正弦定理或余弦定r