1∴PA3FHDF3DHDFDF3DCDFDF3DC2DFDCDAca


HC
∴PAAC且A为PA、AC公共点，故P、A、C三点共线
二、证明直线平行平面
向量a平行平面ABC的充要条件是axAByAC
DABNMD1B1
C
例2直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AB1与BC1上AMBN的点，且，求证MN∥平面ABCDAB1BC1AMBN解设ABaADbAA1c，则AB1BC1A1∵MNANAMABBNAMaBC1AB1aBB1B1C1AA1A1B1acbca1a1b，且a与b不共线
C1





∴MN∥平面ABCD，而MN平面ABCD，故MN∥平面ABCD
三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）aba0b例3如图，在四面体ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点，求证：MN是异面直线AB，CD的公垂线的充要条件是：AC＝BD，BC＝AD
6
f证明设AMaMNbCNc
必要性若MN是异面直线AB，CD的公垂线，则a0b0bc
∵ACAMMCAMMNNCabc，
BM
A
DNC
同样的可得BDabc，BCabcADabc
∴
2ACabc


2
a2b2c22ac
，
2BDabc


2
a2b2c22ac
因此，AC＝BD，同理BC＝AD充分性由AC＝BD，得abc

abc
2

2
abc①b
由BC＝AD，得abc

abc
2

2
abc②b
①＋②得a0故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即MN是异面直线AB，CD的公b
垂线四、求异面直线的夹角例4在正四面体ABCD中，M、P分别为棱AD、CD的中点，N、Q分r