向量基底的选择
李太新
1以共点向量为基底
例1在△ABC内求一点P，使解：如图1：
的值最小。
设
，以
为一组基底，有：
故
1
f所以，当
时，
的值最小，此时，
，即P点为△ABC的重心，因此，当P为△ABC重心时，的值最小。2以任一点为起点，相关顶点为终点的向量作基底
例2在四边形ABCD中，P、Q分别为对角线AC、BD的中点，E、G、F、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，求证：EF、GH、PQ的中点重合。
证明：以平面上任一点O为始点，设，以为基底，有：
设EF、GH、PQ的中点分别为
2
，则
f故
重合，
即EF、GH、PQ的中点重合。
3以共点的单位向量为基底
例3如图3，在△ABC内任取一点O，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为，证明：。
证明：设
，以单位向量
为基底，并设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则有：
所以，
3
f同理：
所以，
在
上取一点D，使
，作DE∥OB交CO延长线于E，则
∠DEO＝180°－α
∠DOE＝180°－∠β，∠ODE＝180°－γ
在△DOE中，由正弦定理，得：
又
所以
4
f故因为
即
从而练习
1△ABC中，AB＝AC，D是AB中点，O是△ABC的外心，E是△ACD的重心。
求证：OE⊥CD
2已知四边形ABCD，求证：AC⊥BD当且仅当
。
3四边形ABCD的对角互补，AB、DC交于E，AD、BC交于F，EG平分∠AED交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，求证：EG⊥FH。
提示：
1可选择
作为基底。
2在ABCD所在平面内任取点O，以
为基底。
3以
的单位向量为基底。
选定向量基底，解决常见立体几何问题
5
f利津二中
陈富君
魏静
我们知道，空间向量的坐标运算成为解决立体几何的垂直与平行的证明、角与距离的求解等问题的一个十分有效的工具，用空间向量的方法处理立体几何问题常常可以收到化繁为简化难为易也降低了同学们学习立体几何的思维难度但是空间直角坐标坐标系的应用有着很大的局限性，取而代之，若以有着特殊关系的三个向量作为基底，通过向量运算将使更多的立体几何问题得到很好的解决这类问题常以特殊四面体（或空间四边形），平行六面体，特殊三棱柱等为载体一、证明三点共线例1如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BGGC＝DHHC＝12设EG和HF交于点P，求证P、A、C三点共线A解设DAaDBbDCc，则ACDCDAca∵
PFEF3，∴PF3FHPHGH4
EDF
BG
r