的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角ABDC的大小；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．A1ABC是正三角形，AEBC．A又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC．H
B1
D
AE侧面BB1C1C．
B
E
GFC
I
C1
连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE45．在RtAED中，ta
45
……………2分
AEED
3x214
，解得x22．
…………3分
此正三棱柱的侧棱长为22．
注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E作EFBD于F，连AF，
……………………4分
AE侧面BB1C1CAFBD．AFE为二面角ABDC的平面角．在RtBEF中，EFBEsi
EBF，又
……………………………6分
fBE1si
EBF
又AE3
CD233，EF．BD332222
在RtAEF中，ta
AFE
AE3．EF故二面角ABDC的大小为arcta
3．
…………………………8分…………………………9分
解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，BD平面AEF平面AEF平面ABD，且交线为AF，…………10分过E作EGAF于G，则EG平面ABD．
在RtAEF中，EG
AEEFAF
3
2
33

3323
30．10
…………12分
E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EG
230．10
…………13分
解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由CACBDADB，易得平面ABD平面CHD，且交线为DH．过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．解法3：（思路）等体积变换由VCABDVABCD可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系oxyz．则A003B010C010D210．A设
z
A1

1xyz为平面ABD的法向量．
y3z
1AB0由得．x2xy3z0
2AD0
取
1631又平面BCD的一个法向量
2001
B
B1
o
C
Dy
…………6分…………7分…………8分
C1

1
263100110．cos
1
2
1
2162321210
结合图形可知，二面角ABDC的大小为arccos
10．10
…………9分
f（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，
1631CA013…………1r