数列经典综合题等差数列与等比数列综合题
例1等比数列a
的前
项和为s
，已知S1S3S2成等差数列（1）求a
的公比q；（2）求a1－a3＝3，求s
解：（Ⅰ）依题意有
a1a1a1q2a1a1qa1q2
由于a10，故2q2q0又q0，从而q－
1212
2
（（Ⅱ）由已知可得a1a1）3
故a14
1
（）41（）81
2从而S
（）1（）1321）（2
例2在正项数列a
中令S

i1


1aiai1
（Ⅰ）若a
是首项为25公差为2的等差数列求S100；（Ⅱ）若S

p（p为正常数）对正整数
恒成立求证a
为等差数列；a1a
1
1aiai1ai1ai2
所以S100
（Ⅰ）解：由题意得（Ⅱ）证令
1所以S

a201a12
5
p1则p1a1a2a1a2

i1


p1（1）a1a
1aiai1

1p1（2）a1a
2aiai1i1
1
1（2）（1）得a1a
2a1a
1a
1a
2
S
1
1
化简得
1a
1
a
2a1
1（3）在（3）中令
1得a1a32a2从而a
为等差数列

2a
2
1a
3a1
1（4）（4）（3）得a
1a
32a
2
1
f例3已知a
是公比为q的等比数列，且amam2am1成等差数列（1）求q的值；（2）设数列a
的前
项和为S
，试判断SmSm2Sm1是否成等差数列？说明理由解：（1）依题意，得2am2am1am∴2a1qm1a1qma1qm1在等比数列a
中，a1≠0，q≠0，∴2q2q1，解得q1或
12
（2）若q1，SmSm1ma1m1a12m1a1，Sm2m2a1∵a1≠0，∴2Sm2≠SmSm111m212112若q，Sm1m1236212
111m1m1421141122SmSm1mm1m1133223321122
∴2Sm2SmSm1故当q1时，SmSm2Sm1不成等差数列；当q
1时，SmSm2Sm1成等差数列2
例4已知数列
｝｛a的首项a1a（a是常数）a
2a
1
24
2
N
2），（．（Ⅰ）
a
是否可能是等差数列若可能，求出a
的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b1b，b
a
2（
N
2），S
为数列b
的前
项和，且S
是等比数列，求实数a、b满足的条件．
解：（Ⅰ）∵a1
a依a
2a
1
24
2
23
a32a2r