2010年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1若abc均为整数且满足ab10ac101，则abbccaA．1B．2C．3D．4（B）
解：由已知可推得
ab0ab1bc1或bc1，分别代入即得。ac1ac0
（C）
2．若实数abc满足等式2a3b6，4a9b6c，则c可能取的最大值为A．0B．1C．2D．3
解：由已知，6c4a9b22a3b15b1215b12，∴c2
a1b110则ba1144A．0abB．ab1C．1abD．ab2333324解：当ab时，可计算得ab，从而ab。观察4个选项，只能选C33
3．若ab是两个正数，且
242
（C）
4．若方程x3x10的两根也是方程xaxbxc0的根，则ab2c的值为（A）A．－13
4
B．－9
2
C．6
2
D．0
解：由已知：xaxbxc一定能被x3x1整除。∵x4ax2bxcx23x1x23xa103ab33xac10∴3ab33xac100，故
3ab330ab2c13ac100
5．在△ABC中，已知CAB60，D，E分别是边AB，AC上的点，且AED60，EDDBCE，CDB2CDE则DCBBA．15°B．20°C．25°D．30°解：如图，由已知，ADE是正三角形。作BF∥DE交AC于F，则BD＝EF，从而EC＝DEBD＝AB＝BF，DE＝FC，又∠1＝∠2＝120，故ΔEDC≌ΔFCB故x
○
∵∠CDB＝2，∠BDE＝120，∴40，故x40
○

由406020，得：x20

f6．对于自然数
，将其各位数字之和记为a
，如a2009200911，a201020103，则a1a2a3a2009a2010（D）
A．28062B．28065C．28067D．28068解：将0，1，2，，999这1000个自然数分为500个数组：（0，999）、（1，998）、（2，997）、、（499，500）注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为9＋9＋9＝27，故0，1，2，，999这1000个自然数各位数字之和等于2750013500于是，1000，1001，1002，，1999这1000个自然数各位数字之和等于13500＋1000＝14500从而a1a2a3a1999135001450028000显然：a2000r