2010年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1若abc均为整数且满足ab10ac101,则abbccaA.1B.2C.3D.4(B)
解:由已知可推得
ab0ab1bc1或bc1,分别代入即得。ac1ac0
(C)
2.若实数abc满足等式2a3b6,4a9b6c,则c可能取的最大值为A.0B.1C.2D.3
解:由已知,6c4a9b22a3b15b1215b12,∴c2
a1b110则ba1144A.0abB.ab1C.1abD.ab2333324解:当ab时,可计算得ab,从而ab。观察4个选项,只能选C33
3.若ab是两个正数,且
242
(C)
4.若方程x3x10的两根也是方程xaxbxc0的根,则ab2c的值为(A)A.-13
4
B.-9
2
C.6
2
D.0
解:由已知:xaxbxc一定能被x3x1整除。∵x4ax2bxcx23x1x23xa103ab33xac10∴3ab33xac100,故
3ab330ab2c13ac100
5.在△ABC中,已知CAB60,D,E分别是边AB,AC上的点,且AED60,EDDBCE,CDB2CDE则DCBBA.15°B.20°C.25°D.30°解:如图,由已知,ADE是正三角形。作BF∥DE交AC于F,则BD=EF,从而EC=DEBD=AB=BF,DE=FC,又∠1=∠2=120,故ΔEDC≌ΔFCB故x
○
∵∠CDB=2,∠BDE=120,∴40,故x40
○
由406020,得:x20
f6.对于自然数
,将其各位数字之和记为a
,如a2009200911,a201020103,则a1a2a3a2009a2010(D)
A.28062B.28065C.28067D.28068解:将0,1,2,,999这1000个自然数分为500个数组:(0,999)、(1,998)、(2,997)、、(499,500)注意到:这500个数组中,每个数组的两个自然数各位数字之和均为9+9+9=27,故0,1,2,,999这1000个自然数各位数字之和等于2750013500于是,1000,1001,1002,,1999这1000个自然数各位数字之和等于13500+1000=14500从而a1a2a3a1999135001450028000显然:a2000r