坐标是x3则
fx3

x1
x22

tt2h21t2

设线段
PA
的中点的横坐标是
x4
则
x4

t
12

由题意得x3x4
即t21ht10③
由③式中的21h240得h1或h3
当h3时h204h20
则不等式②不成立所以h1
当h1时代入方程③得t1将h1t1代入不等式②检验成立所以h的最小值为1拓展延伸
142012
江西宜春三校联考已知椭圆
E
的中心在坐标原点焦点在
x
轴上离心率为
12

且椭圆
E
上
一点到两个焦点距离之和为4l1l2是过点P02且互相垂直的两条直线l1交E于AB两点l2交E
于CD两点ABCD的中点分别为MN1求椭圆E的方程
2求l1的斜率k的取值范围
3求OMON的取值范围
【解】1设椭圆方程为
x2a2

y2b2
1a
b
0
c1
a2
由

2a4
得
a2
a2b2c2
b3
∴椭圆方程为
x24

y23
1
2由题意知直线l1的斜率存在且不为零
∵
l1
ykx2∴
l2

y


1k
x

2

f由
x2y243
1
消去y并化简整理
ykx2
得34k2x216kx40
根据题意

16k2
163
4k2

0
解得
k2

14

同理得121k24k4
∴
14

k
2

4
k

2

12

12

2

3设Ax1y1Bx2y2Mx0y0
那么x1

x2


3
16k4k
2
∴x0

x1
x22


3
8k4k
2

y0

kx0

2

634k2
∴
M
8k34k2

634k2

81
同理得
N

3

k41
2

3

64
1
2

k
k
8
即Nk6
3

4k2
3

4k2
8
∴OM
ON


3
8k4k
2
k
3

4k2

3
64k
2
6
3

4k2

28

25

12k
2

1k2

∵
14

k2

4∴2

k2

1k2

174

∴4
28
7
7
25
12k
2

1k2

19
即OM
ON
的取值范围是

47


719


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