知的向量进行计算．12014江苏如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，C→P＝3P→D，
A→PB→P＝2，则A→BA→D的值是________．
2已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，A→BA→C＝－2，则A→G的最小值是________．
答案
122
223
解析1由C→P＝3P→D，得D→P＝14D→C＝14A→B，A→P＝A→D＋D→P＝A→D＋14A→B，B→P＝A→P－A→B＝A→D＋14
A→B－A→B＝A→D－34A→B因为A→PB→P＝2，所以A→D＋14A→BA→D－34A→B＝2，即A→D2－12A→DA→B－136A→B
2＝2又因为A→D2＝25，A→B2＝64，所以A→BA→D＝22
2在△ABC中，延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且
AG＝23AD，∵A→BA→C＝A→B×A→C×cos120°＝－2，∴A→B×A→C＝4，∵A→G＝23A→D，2A→D＝A→B＋A→C，∴A→G＝13A→B＋A→C，∴A→G2＝13A→B＋A→C2＝19A→B2＋2A→BA→C＋A→C2≥192A→B×A→C＋2×－2＝49，∴A→G2≥49，∴A→G≥23，∴A→G的最小值是23
热点三平面向量与三角函数的综合
例3已知向量a＝cosα，si
α，b＝cosx，si
x，c＝si
x＋2si
α，cosx＋2cosα，其中
0αxπ1若α＝π4，求函数fx＝bc的最小值及相应x的值；2若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求ta
2α的值．
思维启迪1应用向量的数量积公式可得fx的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转
化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．
2由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．
解1∵b＝cosx，si
x，c＝si
x＋2si
α，cosx＋2cosα，α＝π4，
f∴fx＝bc
＝cosxsi
x＋2cosxsi
α＋si
xcosx＋2si
xcosα
＝2si
xcosx＋2si
x＋cosx．
令t＝si
x＋cosxπ4xπ，
则2si
xcosx＝t2－1，且－1t2
则y＝t2＋2t－1＝t＋222－32，－1t2，
∴t＝－22时，ymi
＝－32，此时si
x＋cosx＝－22，
即2si
x＋π4＝－22，
∵π4xπ，∴2πx＋π454π，∴x＋π4＝76π，∴x＝1112π∴函数fx的最小值为－32，相应x的值为1112π2∵a与b的夹角为π3，∴cosπ3＝aabb＝cosαcosx＋si
αsi
x＝cosx－α．∵0αxπ，∴0x－απ，∴x－α＝π3
∵a⊥c，
∴cosαsi
x＋2si
α＋si
αcosx＋2cosα＝0，
∴si
x＋α＋2si
2α＝0，即si
2α＋3π＋2si
2α＝0
∴52si

2α＋
32cos
2α＝0，∴ta

2α＝－
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思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中
的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函
数之间的关系等；另一方面r