的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行
f四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二
是基于“数”，借助坐标运算来实现．12014陕西设0θ2π，向量a＝si
2θ，cosθ，b＝cosθ，1，若a∥b，则ta
θ＝________2如图，在△ABC中，AF＝13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E若A→B＝a，A→C＝b，且C→E＝xa＋yb，则x＋y＝________
答案
112
2－12
解析1因为a∥b，
所以si
2θ＝cos2θ，2si
θcosθ＝cos2θ因为0θπ2，所以cosθ0，得2si
θ＝cosθ，ta
θ＝12
2如图，设FB的中点为M，连接MD
因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF
因为AF＝13AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．
方法一因为A→B＝a，A→C＝b，D为BC的中点，所以A→D＝12a＋b．所以A→E＝12A→D＝14a＋b．所以C→E＝C→A＋A→E＝－A→C＋A→E＝－b＋14a＋b＝14a－34b所以x＝14，y＝－34，所以x＋y＝－12方法二易得EF＝12MD，MD＝12CF，
f所以EF＝14CF，所以CE＝34CF因为C→F＝C→A＋A→F＝－A→C＋A→F＝－b＋13a，所以C→E＝34－b＋13a＝14a－34b所以x＝14，y＝－34，则x＋y＝－12
热点二平面向量的数量积例21如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，B→F＝2F→O，则F→DF→E等于
A．－34B．－89C．－14D．－4922013重庆在平面上，A→B1⊥A→B2，O→B1＝O→B2＝1，A→P＝A→B1＋A→B2若O→P12，则O→A的取
值范围是
A0，
52
B
25，
72
C25，2
D27，2
思维启迪1图O的半径为1，可对题中向量进行转化F→D＝F→O＋O→D，F→E＝F→O＋O→E；2利
用O→P12，寻找O→P，O→A的关系．
答案1B2D解析1∵B→F＝2F→O，圆O的半径为1，∴F→O＝13，∴F→DF→E＝F→O＋O→DF→O＋O→E＝F→O2＋F→OO→E＋O→D＋O→DO→E＝132＋0－1＝－892∵A→B1⊥A→B2，∴A→B1A→B2＝O→B1－O→AO→B2－O→A＝O→B1O→B2－O→B1O→A－O→AO→B2＋O→A2＝0，∴O→B1O→B2－O→B1O→A－O→AO→B2＝－O→A2∵A→P＝A→B1＋A→B2∴O→P－O→A＝O→B1－O→A＋O→B2－O→A，∴O→P＝O→B1＋O→B2－O→A∵O→B1＝O→B2＝1，∴O→P2＝1＋1＋O→A2＋2O→B1O→B2－O→B1O→A－O→B2O→A＝2＋O→A2＋2－O→A2＝2－O→A2，
f∵O→P12，∴0≤O→P214，∴0≤2－O→A214，
∴74O→A2≤2，即O→A∈27，2
思维升华1数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；
2可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已r