较它们与0或1的大fx2小关系进而用定义判定另外由题设抽象关系式猜测fx为幂函数yx21令y1则fxfxf1∵f11∴fxfxfx为偶函数xx2设0≤x1x2则0≤11得0≤f11x2x2xfx1xx又由fx1f1x2f1fx2得0≤f11x2x2fx2x2即fx1fx2故函数fx在0∞为增函数三利用抽象关系式灵活构造例4已知函数fxgx均为xx≠0上的奇函数Fxafxbgx2在0∞上的最大值为5则在∞0上的最小值是________析由题设可知Fx为非奇非偶函数而afxbgx为奇函数故可利用afxbgx构造奇函数进而用奇函数的对称性求最值解设hxFx2afxbgx则hx的定义域为xx≠0由题设Fx在0∞上的最大值为5知hx在0∞上最大值为3又hxafxbgxafxbgxhx知hx为奇函数所以hx在∞0上有最小值3即Fx在∞0上有最小值1例5已知函数fx满足对任意xy∈R都有fxyfxfy且f1≠0则f2005_______析利用题设令y1可构造出fx1fxf1一个递推关系式利用这个递推关系只需再求出f1即可求具体的函数值解在fxyfxfy中令x0y0可得f00再令x0y1可得f1f0f1即f10或f11
2
f雅QQ1240008362
∵f1≠0∴f11在条件式中令x
y1则得递推关系式f
1f
1∴数列f
是首项为1公差为1的等差数列∴f20052005四利用直观图象数形结合例6已知fx是R上的奇函数在区间0∞上是增函数f30又那么xfx0的解集是Ax3x0或x3Bxx3或x3Cxx3或0x3Dx3x0或0x3析根据题设条件可画出函数的示意图如图∵f3f30而xfx0∴x与fx异号由图象可知3x0或0x33故选D五归纳猜想例7是否存在这样的函数fx使下列3个条件1f
0
∈N2f
1
2f
1f
2
1
2∈N3f24同时成立若存在求出fx的解析式若不存在试说明理由析解决探索性问题应先假设存在再利用题设推导这里应用归纳猜想的知识可知函数为指数函数y2x再用数学归纳法证明解假设存在由条件123得2f2f1f1f14又∵f10∴f12∴f3f21f2f123f4f31f3f124由此猜想fx2xx∈N下面用数学归纳法证明①当x1时猜想显然成立②假设当xk时命题成立即fk2k那么当xk1时fk1fkf12k22k1由①②知猜想成立综上所述存在函数fx2x对x∈N成立六利用模型函数类比联想例8如果fxyfxfy且f12则f2f4f6f2004的值为_________f1f3f5r