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专题研究之一抽象函数解法研究专题研究之一抽象函数解法研究
北海七中林秀雅抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出函数具体的解析式及图象的函数由于抽象函数概念抽象性质隐而不显技巧性强因此学生在做有关抽象函数的题目时往往感觉无处下手一利用函数的概念整体换元例11若函数f1x的定义域是01则函数fx1的定义域是________2已知f3x17x22x1则fx_________________3已知函数fx的值域是11则函数yfx2的值域是__________析此类题目考查函数的基本概念如果能正确理解函数的概念就能轻松求解在函数yfx中x是自变量y是函数值法则f是描述括号中的变量可以是自变量x也可以是一个代数式如x11x等当是代数式时自变量仍是x和y的函数关系1题设中的两个函数有相同的法则但f后面括号内的变量不同若求fx1的定义域即自变量x的范围根据f后面括号内的变量地位相同有相同的范围于是函数f1x和fx1中括号内变量1x和x1的地位相同范围相同用换元法有如下解法解令函数f1x中的1xt∵x∈01∴1xt∈12令函数fx1中的x1m则m和t的范围一致∵x1m∈12∴x∈23故所求函数定义域为232在题设中f描述出了3x1和y的关系而所求函数fx中x和f3x1中3x1的地位相同用换元法有如下解法t1解令函数f3x1中的3x1t则x于是有3t12t17204ft721t2t339997204故fxx2x9993由上述1可知函数fx中x和函数fx2中x2的地位相同范围相同所以在同一法则下的值域必然相同故函数yfx2的值域仍是11二利用抽象关系式巧妙赋值例2设函数fx的定义域是∞∞满足条件①存在x1≠x2使得fx1≠fx2②对任何x和yfxyfxfy成立求1f02对任意值x判断fx值的正负
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析若令x0y0推导f0会得到f0f02f00或f01但是由条件式可猜测指数函数yax满足关系式应有f01利用题设①判定有如下解法解1令y0代入fxyfxfy则fxfxf0∴fx0或f01若fx0则对任意x1≠x2有fx1fx2这与题设矛盾∴f012令yx≠0则又由上述1知fx≠0∴f2xfx20即fx0故对任意xfx0例3已知函数fx对任意实数xy均有fxyfxfy且f11当0≤x1时fx∈011判断fx的奇偶性2判断fx在0∞上的单调性并给出证明析判断函数的奇偶性联想函数奇偶性的判定式fx±fx0判fx1断单调性应构造出定义式fx1fx2或分别比r