DBbiEbi221A12cicibjcjbmcm1b1c1b1c1b2i2j2j2m2m
ci
bj
cj
bm
cm
2110上式称为应力矩阵是结点位移与应力之间的关系矩阵在上述三角形单元中它也是一个常量矩阵常应力单元。
四、单元刚度矩阵
有了几何矩阵B和弹性矩阵D后我们便可将其代入在§13中推导出的单元刚度矩阵的一般表达式
KBDBdv
v
T
对于平面问题，积分
dzt，是单元的厚度，并假定t在单元内不变化常数，
5
所以三角形单元的单刚
f《有限元》讲义
KtB
T
DBdxdy
积分式内的两个矩阵都是常量矩阵乘后积分得三角形单元的单元刚度矩阵：KKijKimiiKKjiKjjKjm2111KmiKmjKmm子块
1ccbrbsEt2rsKrs412Acb1bcrs2rs
brcs1crbsrsijm2cc1bb

rs
2
rs

上式常称为各向同性常应变单刚stiff
essmatrixforisotropicco
sta
tstrai
tria
glei
pla
estress上面的K是在图1及211式的位移排列顺序和212a下导得的对此作些改变便会获得不同的单元刚度矩阵形式如将位移列阵的排列改为duiujumvivjvmT。（可自行推导此种单元刚度矩阵的显式可参见《Fi
iteEleme
tA
alysisFu
dame
tals》）
作业3：1．求形函数Nixy在三角形形心（xcyc）上的函数值。2．设图中i点有水平位移ui1，试由单元刚度方程写出各链杆的反力；并证明各水平、竖向反力之和为0。3．求图示单元1、2的单元刚度矩阵和应力矩阵。（结论：将单元逆时针转动180度，则单刚无影响而应力矩阵反号）
6
f《有限元》讲义
22
三角形单元中几个问题的讨论
一、形函数的物理意义由214a
fxyuv

Ni0
0Nj0NmNi0Nj0
uivi0ujNvNmjumvm
d
e
可以看出当u1其它5个位移分量为0时uxyNixy或当vi1其余为0时vxyNixy如图所示。
故形函数Nixy表示当结点i发生单位位移时在单元内部产生的位移分布状态函数NjNm亦具有类似的性质因此NiNjNm称为位移的形状态函数简称形函数Nr