互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F是椭圆x2y21的右焦点，A11为椭圆内一定点，P为椭圆43
（1）PAPF的最小值为（2）PA2PF的最小值为
yAP
F0F′
上一动点。
Hx
分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。
解：（1）45
设另一焦点为F，则F10连AFPF
PAPFPA2aPF2aPFPA2aAF45
当P是FA的延长线与椭圆的交点时PAPF取得最小值为45。
（2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a24，b23，c21，a2，c1，e1，2
∴PF1PH即2PFPH2
∴PA2PFPAPH
当
A、P、H
三点共线时，其和最小，最小值为
a2c

xA

41
3
例3、动圆M与圆C1x12y236内切与圆C2x12y24外切求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的
MCMD）。
yC
MDA0B5x
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f实用标准文案
解：如图，MCMD，
∴ACMAMBDB即6MAMB2
∴MAMB8（）
∴点M的轨迹为椭圆，2a8，a4，c1，b215轨迹方程为x2y211615
点评：得到方程（）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出
x12y2x12y24，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC中，B50C50且si
Csi
B3si
A求点A的轨迹方程。5
分析：由于si
A、si
B、si
C的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。
解：si
Csi
B3si
A5
∴ABAC3BC5
2Rsi
C2Rsi
B32Rsi
A5
即ABAC6（）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a6，2c10∴a3，c5，b4
所求轨迹方程为x2y21（x3）916
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在yx2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设Ax1x12，Bx2，X22，又设AB中点为Mx0y0用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设Ax1，x12，Bx2，x22，AB中点Mx0，y0
则
xx11xx22
22x0
x12

x
22

2

9

x12

x
22

2y0
①②③
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f由①得x1x221x1x229即x1x224x1x21x1x229④由②、③得2x1x22x022y04x022y0代入④得2x028x024y012x02r