si
C∴222cosCsi
C12si


CCsi


f∴si
C
714
cosC
714
7si
Bsi
ACsi
2Ccos2C24
例5在△ABC中，已知a2a2bc，a2b2c3，若si
Csi
A413，求abc。解：∵si
Csi
A413设c4k，a13k，则∴ca413
213k13k2b4k113k2b8k32
2由（1）（2）消去2b，得13k16k30，解得k
3或k113
∵k
3时b0，故舍去13
∴k1，此时a13，b
513，c42
例6在△ABC中，si
A
si
Bsi
C，判断这个三角形的形状。cosBcosCbc解：应用正弦定理、余弦定理，可得a222caba2b2c22ca2ab2222整理为babcacbcbc
即bca2b3c3bcbc
222222所以abbccbc，即abc所以△ABC是直角三角形
2例7在△ABC中，ab10，cosC是方程2x3x20的一个根，求△ABC周长的最小值。2解：∵2x3x20
∴x12，x2
1212
2又∵cosC是方程2x3x20的一个根
∴cosC
1222则c100a10aa575
当a5时，c最小且c
2222由余弦定理可得cab2ababab
7553，此时abc1053所以，△ABC周长的最小值为1053
例8在△ABC中，bcosAacosB，试判断三角形的形状。解法一：∵bcosAacosB
fb2c2a2a2c2b2a2bc2ac22222∴bcaacb2∴a2b2
∴b故此三角形是等腰三角形解法二：设∵∴
∴ab
∵∴故此三角形是等腰三角形
abc2R，则b2Rsi
B，a2Rsi
Asi
Asi
Bsi
CbcosAacosB∴2Rsi
BcosA2Rsi
AcosBsi
AcosBcosAsi
B0∴si
AB00A，0BAB∴AB0，即AB
例9在△ABC中，abc分别为角A、B、C的对边，且
2acta
B，根据正弦定理cta
C2si
Asi
Cta
Bsi
BcosC得si
Cta
Csi
CcosB化简为2si
AcosBcosBsi
Csi
BcosC∴2si
AcosBsi
BC
解：∵在△ABC中，si
BCsi
A∵0B180∴B60∴cosB
2acta
B，求角B的大小。cta
C
12
例10在△ABC中，角A、B、C的对边分别为abc，C2A，ac10，cosA求
3，（1）4
c的值；（2）求b的值。a
解：（1）由C2A及正弦定理得
csr