即称形函数矩阵（shapefu
ctio
）。二、形函数的几何意义在单元分析中，很重要的一步是构造位移函数，得出以形函数和结点位移乘积表示的单元位移场。

fNd


e
Ni0
0Nj0NmNi0Nj0
uivi0ujNmvjumvm
其中形函数
而
Ni1aibixciy2A
ijm
aixjymxmyj
biyjymcixmxj
将其代回
7
f《有限元》讲义
Ni1xymxmyiyjymxxmxjy2Aj1xy11xjyj2A1xmym
若从单元内任意点pxy向各顶点引连线将其分成三个小三角形则上式中的行列式恰好是小三角形pjm面积的2倍
即
1xy2AANi11xjyjii2A2AA1xmym
AjNjA
同理可得
NmAmA
由此可得如下结论三角形单元的几何性质1任意一点形函数之和等于1（NiNjNm1）2形函数为≥0且≤1的值0≤NiNjNm≤13顶点坐标上的形函数值当xy坐标取在i点时Ni1NjNm0当xy坐标取在j点时Ni1Nj1Nm0当xy坐标取在m点时NiNj0Nm1
因此NiNjNm又称为面积坐标面积坐标的概念在讲叙六结点三角形单元时将得到应用。
8
f《有限元》讲义
三、有限元的收敛性
解的收敛性也可理解为一个问题的解的精度，较粗的分，影响一个实际问题的解的精度可分成三个方面：实际物理问题→①理想化力学模型→②有限元求解方法（解法）→③数字截断。此处仅讨论解法。绪论中提到，有限元作为一种数值方法可以认为是李兹法（弹性力学解）的一种特殊形式，不同之处在于有限元法的形函数（在弹力称试探函数）是定义于单元（子域）而不是全域。李兹法的收敛条件是要求试函数具有完全性和连续性。那么它在有限元法中又是如何具体体现的？可从两方面：严格的数学论证（用变分原理，可参考王勖成书pp6063）；物理方面，也就是单元模型问题（三角形单元的位移摸式）。
１、位移模式的收敛性条件①完备性一个有限元解的必要条件是要求该单元的位移函数必须能表示刚体位移和常应变状态。例如对于上述平面问题的三角形单元，其位移函数应能保证单元能够在不产生应变的前提下，在其平面内的任意方向上平移和转动，如图示悬臂深梁即可解释上述之理由。
现考察上述三角形单元位移函数对刚体位移的描述。
设单元产生刚体位移，原点的水平位移U0；竖向位移V0；转角φ0，则任意点位移：
uxyu0φ0yvxyv0r