y


y
1

x
y

则
lim

x

lim

y

。
例4求下列函数的间断点并判断类型：
（1）
xxfx
si
x
x
（2）fx1e1x1
解（1）无定义的点xkk为整数
因为f0f0，所以x0是跳跃间断点；
因为limfxlimx所以x是可去间断点；
x
xsi
x
fk01时，xk是第二类间断点。
思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？
（2）无定义的点x1及x0因为
x
limfx1lim1e1x
x0
x0
故x0是fx的无穷间断点又由于
x
f11lim1e1x0，
因
x

x1
1x

x
f11lim1e1x1，
因
x

x1
1x

故x1是fx的跳跃间断点
例5设函数fx在闭区间01上连续，f0f1。证明存在x001，使得
fx0
fx0
1。3
证令gxfxfx1，0x2，则由条件知gx在02上连续，设
3
3
3
其最小值与最大值为mM。则
m

13
g0

g
13

g
23


M
又直接计算得知
1g0g1g21f0f1f1f2f2f10
3
333
3333
故由连续函数的介值定理，在区间0
23

内
gx
必能取到值
0。亦即存在
x0
01
，
使得
fx0

fx0
1。3
同型练习题：设函数fx在闭区间01上连续，f0f1。证明存在x001，
使得
fx0
fx0

1
1。

例6设函数fx在实轴上连续，且ffxx。证明c，使fcc。
f（用反证法）
例7设fx在x1连续，且x0：fxfx2，证明：x0时，fx是常
数。
1
1
1
证对任x0，fxfxfx4fx2
令
，利用x2
1及
连续性条件得，
1
1
fxlimfx2
flimx2
f1，即fx恒等于f1



同型练习题：设fx在x0连续，且fxf2x，证明：fx是常数。
例8设aii12
为常数，若不等式
a1si
xa2si
2xa
si
xx对所有xR成立证明
a12a2
a
1。
例9设fx在内连续，且任给xyR，有
fxyfxfy
试证fx为线性函数fxax，其中af1。
证显然f00，fxfx，即fx为奇函数。
又fkf111kf1，
f1f111
f1，即f11f1。







从而fmmf1mf1，故对有理数x都有fxf1x。




任给x，存在有理数数列x
x，利用fx的连续性，得
f
x

f
lim

x



lim

f
x


lim

f
1x


f
1x
。
注此题条件改为fx在x0处可导，且任给xyR，有fxyfxfy
f则证法改变为
fxlimfxyfxlimfyf0f0，
y0
y
y0
y
记f0为a，从而fxaxb，由f0r