例1求极限
（1）
lim
cos2
cos
22
c
os
2
，
解0时，极限为1；
0
时（
充分大时，
s
i
2
0
），原式
lim
si
2
si
2
si
。
（2）
lim1
1
1
2
解先求
lim
l
1
1
1
2
lim
1
1
2
1
，
所以原式e
另法
利用1
1
1
1
1
2
1
1
1
（3）
lim
x0
x
1x
解
因为
1x
1x
1x
1，即有
1x
1
1x
1x
当
x
0
时，1
x
x
1x
1，由夹挤准则得
lim
x0
x
1x
1，
同理
lim
x0
x
1x
1
，故原极限为
1。
（4）limxcosxx0解先求lim1l
cosxx0
xlim1cosxx0
x11，2
原极限为e12。
（5）limxxeexexe
解原式limexl
xeeeelimexl
xe1
xexe
xexe
eelimxl
xeeelimxl
xel
xlimel
xe
xexe
xexe
xexe
2ee
f（6）lim1cosxx0
cos2x3cos3x
x2
解分子为1expl
cosx1l
cos2x1l
cos3x
2
3
l
cosx1l
cos2x1l
cos3x
2
3
原式
lim
x0
l
cosx2
x
12
l
cos2xx2
13
l
cos3xx2
lim
x0
cosxx2
1
12
cos
2xx2
1
13
cos3xx2
1
11233
2
练习（1）lim
ta
xsi
x
（答案1x3）2
（2）limeesi
xeexx0si
xx
（答案e）
（3）lim1cosxx0
cos2x
cos
xx2
（答案1
1）4
1
（4）limex2xsi
xx0
（答案e1）
（5）lim1x1
x13x1
x1x）
1
（答案1）
（6）lim（si
x1si
xx
（提示和差化积，极限为0）
（7）设a011，a
12
12
a
1
1，求
lim
a1a2
a
。
（提示：令a0
cos
0，则a
c
os
2
。）
例2
设
x0
R
，
x
si
x
1
1，求
lim
x
解考虑x1si
11，分三个情形：
（1）若x10，极限为0（2）若x10，则x2si
x1x1，易得x
si
x
1x
1
1，故数列单调递减
f有下界，极限存在。对x
si
x
1两边求极限得lsi
l，从而l0。
（3）x10时，同理求得l0。
综上极限为0
例3设x1a0y1b0ab，且
x
1
x
y
y
1
12
x
y
证明
lim
x
lim
y
。
分析问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。
证由于x
0y
0，且
y
1
12
x
y
x
y
x
1
x
1x
y
x
x
x
y
1
12
x
y
12
y
y
y
可知x
为单调增加数列，y
为单调减少数列，且ax
y
b故数列x
y
极限都存在，设极限分别为
A
B
，对
y
1
12
x
y
两边取极限得
B
A
B
2
，故
AB。
注此题变化为：x1a0y1b0ab，且
x
1
2x
y
x
r
