由数列的递推公式求通项公式
一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作a
，a
的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．等差数列数列a
的后一项与前一项的差a
－a
－1为常数d等比数列数列a
的后一项与前一项的比
定义
a
为常数q（q≠0）a
1
q为公比a
a1q
S
－1
专有名词通项公式前
项和
d为公差a
a1（
－1）dS
a1

1da1a
22
a11q
1q


数列的前
项和S
与通项公式a
的关系是：a
S
－S
－1（
≥2）．有些数列不是用通项公式给出，而是用a
与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：a
＋12a
3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．二例题精讲例1．（裂项求和）求S

81828
2．2213352
122
12
2
解：因为a

8
112222
12
12
12
12
1111111所以S
22221－222
123352
112
1
例2．（倒数法）已知数列a
中，a1
a
3，a
1，求a
的通项公式．2a
15
用心
爱心
专心
f解：
1a
1

2a
112a
a

11556
1∴是以为首项，公差为2的等差数列，即2（
－1）a
333a
∴a

36
1
S
1，求a
的通项公式．2S
11
练习1．已知数列a
中，a11，S

解：
12S
1112S
S
1S
1
1∴是以1为首项，公差为2的等差数列．S
∴
1112（
－1）2
－1，即S
．S
2
12112
12
32
12
3
∴a
S
－S
－1
1
11∴a
1
22
12
3
例3．（求和法，利用公式a
S
－S
－1，
≥2）已知正数数列a
的前
项和
11，求a
的通项公式．S
a
2a
11解：S1a1，所以a11．a12a1
∵a
S
－S
－1∴2S
S
－S
－1
1S
S
1
用心
爱心
专心
f∴S
S
－1
1，即S
2－S
－121S
S
1
∴S

是以1为首项，公差为1的等差数列．
2
∴S
2
，即S
∴a
S
－S
－1
－
1（
≥2）∴a
－
1．
例4．（叠加法r