于H1，由于M是中点，所以
于是在Rt△MH1B中，∠MBH130°．延长BM至N，使得MNBM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最
ABC中的最短边，所以ANBC＜AB，从而∠ABN＜∠ANB∠MBC30°，∠B∠ABM∠MBC＜60°．下面是一个非常著名的问题费马点问题．例9如图2145．设O为△ABC内一点，且∠AOB∠BOC∠COA120°，P为任意一点不是O．求证：PA＋PBPC＞OAOBOC．
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f证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1如图2145，考虑四边形AOBC1．因为∠OAC1∠OBC190°，∠AOB120°，所以∠C160°．同理，∠A1∠B160°．所以△A1B1C1为正三角形．设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式S△A1B1C1S△PB1C1S△PC1A1＋S△PA1B1知
所以hha＋hb＋hc．这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA＋OB＋OCh定值．显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以PA＋PB＋PC＞hOA＋OB＋OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．
练习二十三
1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．
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f2．AM是△ABC的中线，求证：
3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BDCE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．
4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．
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f5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：ABCF≥AC＋BE．
6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PBPC＞ABAC．
7．在等腰△ABC中，ABAC．1若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC或其延长线于D，E，求证：2AB＜ADAE．2若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．
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