以
2过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋ECAB＋AE＋EC2．例3如图2139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得ABAC，DB＞DC，且AB＋ACDB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．
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f证在DB上取点F，使DFAC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DBDCABAC2AC，所以DB＞AC．由于DB＋DCAB＋AC2AC，所以DC＋BFACAB．在△ABF中，AF＞ABBFDC．在△ADC和△ADF中，ADAD，ACDF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：
分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所
为边的三角形．证如图2140，在GK上取一点M，使GMMK，则
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f在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM∠MGC．而∠ACG45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM∠ACG＋∠GCM＞90°．
由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故
例5如图2141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：1OA′＋OB′＋OC′＜BC；2OA′＋OB′OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．
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f证1过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XSOC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CYBC．
所以OA′＋OB′OC′xAA′yBB′＋zCC′≤xyzmax｛AA′，BB′，CC′｝max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC图2142．
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f证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BMMC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BMMC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．
证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD∠C，如图
2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，
即BC＞2BD．又CD＞BCBD，所以BC＋CD＞2BD＋BCBD，所以CD＞BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°图2144．
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f证作MH1⊥BCr