第二十三讲几何不等式
平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．
说明如图2135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2HA2PH2PB2HB2，所以
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fPA2PB2HA2HB2．从而定理容易得证．定理6在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．
同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC图2137．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BMMC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BMMC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2已知P是△ABC内任意一点图2138．1求证：
＜a＋b＋c；
2
f2若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PAPB＋PC＜2．证1由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得
又由定理4可知PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PCPA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所r